mateforum.ro

Aici e ceva scris si despre mai multe legaturi (multiple constraints):
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers

Considera un spatiu Hilbert cu o baza ortonormata \( e_i, i\in\mathbb{N} \) si operatorul T definit prin \( T(e_n) = \frac{e_n}n \).
E clar ca e marginit, injectiv si \( T(e_n)\to 0 \) dar sirul \( \{e_n\}_n \) n-are pe 0 ca punct de acumulare.

Fie f_1,...,f_n:[0,1]\to\mathbb{R} functii continue. Definim I_{f_1,...,f_k} integrala iterata a functiilor f_1,...,f_k ca fiind I_{f_1,...,f_k}(t) = \int_0^t I_{f_1,...,f_{k-1}}(s)f_k(s)ds pentru k\ge 2 si I_{f_1}(t) = \int_0^t f_1(s)ds , unde t\in [0,1] . O permutare \sigma\in \Sigma_n=Bij\{1,2,.....

Sa va distrati putin:
Fie \( R \) un inel si \( a\in R \). Presupunem ca \( a \) are cel putin 2 inversi la dreapta. Demonstrati ca are o infinitate de inversi la dreapta.

O demonstratie la lema nu stiu unde am putea gasi, dar nu cred ca se poate face la nivel elementar. Sa zicem ca matricele A, B sunt peste un corp k (alg. inchis) si sunt de dimensiune n . Vrem sa gasim o baza in care sunt triangulare amandoua (banuiesc ca e clar ca asta rezolva lema). Notam cu V = ...

Fie k=\mathbb{F}_p corp(ul) finit cu p -elemente, unde p este un numar prim. Consideram K = \mathbb{F}_{p^n} corp(ul) finit cu p^n elemente. Definim aplicatia N:K\to k prin N(x) = x\cdot x^p\cdot x^{p^2}\cdots x^{p^{n-1}} . Demonstrati ca N e bine definita (adica imaginea lui N e in k ) si ca e surj...

Fie \( K \) un corp si \( L \) o extindere Galois finita. Notam \( G \) grupul Galois.
Definim urmatoarea aplicatie (numita norma) \( N:L\to K \)
\( N(x) = \prod_{\sigma\in G}\sigma(x) \).

Este \( N \) surjectiva?
(In general nu, dar cam cand ar fi?)
Demonstrati ca daca \( K \) e un corp finit atunci \( N \) e surjectiva.

Este adevarat ca pentru orice numar intreg \( n \) ecuatia
\( a^2-2b^2 = nc^2 \) are solutie cu \( (a,b,c)\in\mathbb{Z}, c\neq 0 \) ?

Fie \( X \) o varietate algebrica peste un corp \( k \), cu o singura singularitate izolata dubla in punctul \( x \) (i.e. \( \mathcal{\hat O_{\mathrm X, x}} \simeq k[[X_1,...,X_n]]/(X_1^2+X_2^2+...+X_n^2) \)).
Demonstrati ca blow-up-ul lui \( X \) in \( x \) este o varietate nesingulara.

Definim urmatorul sir
\( t_0=1,t_{n+1} = \frac{t_n^2-1}{t_{n-1}} \)
Sa se demonstreze ca \( t_n \) sunt polinoame cu coeficienti intregi in \( t_1 \).

Pentru a fi mai clar scriu cativa termeni ai sirului:
\( t_2 = t_1^2-1 \)
\( t_3 = t_1^3-2t_1 \)
\( t_4 = t_1^4 - 3t_1^2 + 1 \)

Pentru persoanele interesate de teoria reprezentarii exista un site bun cu multe dintre evenimentele/activitatile ce se desfasoara in domeniu: conferinte, scoli de vara/iarna/etc, workshop-uri
http://www.math.uni-bielefeld.de/~fdlist/

Fie A un inel noetherian si M un A modul finit generat. Demonstrati ca M este proiectiv(=local liber) de rang r daca si numai daca F_r(M) = A si F_{r-1}(M)=0 . ----- Daca M este un A modul finit generat atunci exista o prezentare finita a lui M , adica exista A^m\stackrel{\phi}{\to} A^n \stackrel{\p...

Inca o data:
presupunand ca toate numerele din A sunt puteri(de ordin cel putin 2) ale unor numere intregi avem urmatoarea majorare:

\( \sum _{x\in A}\frac 1x < 1+\sum_{n\ge 2} \sum_{k\ge 2}\frac1{n^k} = 1+\sum_{n\ge 2}\frac1{(n-1)n} = 2 \).

Solutia e aproape cum a zis Beni doar ca el a neglijat faptul ca numere pot fi puteri de acelasi intreg... cu observatia asta se vede usor ca in loc sa majorezi cu \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2} majorezi cu 1+\sum_{n\ge 2}\frac {1}{(n-1)n}=2 . Pt a vedea ca 2 e cea mai buna constanta ne uitam la multimi...

O parere(n-am citit inca articolul de pe wiki): pt a aplica Eisenstein unui polinom ar trebui(nu e si suficient) ca toti coeficientii in afara celui dominant sa fie divizibili cu un numar prim p . Asta inseamna ca daca reduci polinomul modulo p polinomul rezultat trebuie sa aiba o singura radacina m...

Dati exemplu de un inel noetherian(sau/si algebra noetheriana) si doua module finit generate peste el, sa zicem \( M \) si \( N \), \( M\not\simeq N \), cu proprietatea ca exista un \( n\ge 2 \) astfel incat \( M^n \simeq N^n \).
Ar fi simpatic sa fie 2 exemple: unul cu inel comutativ si unul necomutativ.