mateforum.ro

O alta solutie interesanta este folosind o translatie de vector \( \frac{1}{2}\overline{AH} \). Problema decurge apoi din teorema fluturelui in patrulaterul \( BCB^{\prime}C^{\prime} \) (unde \( B^{\prime}, C^{\prime} \) sunt picioarele inaltimilor din \( B \), respectiv \( C \)).

Ba chiar mai mult, un inel \( (A, +, \cdot) \) cu \( p_{1}p_{2}\ldots p_{k} \) elemente, \( p_{i} \) numere prime distincte, este comutativ.

Hint: \( (A,+) \) este ciclic.

Problema asta nu s-a mai dat tot pe la Seemous/IMC anii trecuti?

Sa se calculeze integrala: \int_0^{\pi/4}\log\left(\frac{1+\sin t}{1-\sin t}\right)dt . Se observa ca \int_{0}^{x}{\frac{dt}{\cos{t}}} = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right) . Deci \int_0^{\pi/4}\log\left(\frac{1+\sin t}{1-\sin t}\right)dt = 2 \int_{0}^{\pi/4} \left(\frac{\pi}{...

Cu Djvu Viewer de exemplu. Downloadeaza-l de aici: http://www.celartem.com/en/download/djvu.asp#win. (option 2)

Un articol dragut pe tema asta: http://reflections.awesomemath.org/2006 ... lygons.pdf (a se vedea problema 5).

Fie ABC un triunghi oarecare si punctele M, N, P pe laturile BC, AC, respectiv AB. Daca AM,\ BN, \ CP sunt concurente, atunci sa se demonstreze ca \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}\cdot \frac{AP}{PB}=1. Am atasat aici un material (de nivel nu prea ridicat) ce l-am scris acum vreo 2-3 ani cu o demons...

S-a rezolvat. Multumiri domnului Dinca.

Am o solutie mai directa decat cea din barem (mai directa , dar nu mai usoara, deoarece folosesc ca valorile proprii ale lui A + zB sunt a_i+zb_i , unde a_i, b_i sunt valorile proprii pt. A , respectiv B , atunci cand AB = BA ). Ridicand la patrat relatia si conjugand obtinem ca: \det (A + zB) \det ...

Vedeti aici: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=115136#115136.

Filip Chindea wrote:Concurenta non-standard

De fapt, mai degraba cred ca este standard. Vezi aici, spre exemplu, o problema echivalenta.

In Recent Advances in Geometric Inequalities , autorii indica existenta unei demonstratii a inegalitatii Erdos-Mordell pt poligoane convexe (constanta 2 din cazul triunghiului fiind inlocuita cu \frac{1}{\cos{\frac{\pi}{n}}} ) date de Lenhard. Cautand pe net, am gasit referinta exacta: Hans-Christof...

Intradevar clasica. Vezi aici pentru o solutie sintetica.

... Nistor Budescu, Gazeta Matematica, no. 3/1994 & Hojoo Lee, American Mathematical Monthly, 2000 Pentru a lamuri o data pentru totdeauna adevarata sursa a acestei "probleme a lui Hojoo Lee" (ca unghiul Brocard al unui triunghi este egal cu \frac{\pi}{6} daca si numai daca triunghiul...

Draguta. Metoda de rezolvare este oarecum clasica, folosind notatiile pentru sumele simetrice: p=a+b+c , q=ab+bc+ca si r=abc . Din plictiseala am gasit si un upper bound pentru termenul din stanga: \frac{8\sqrt{3}}{27} (x+y+z)^{4}\sqrt{xy+yz+zx} \geq (x+y)(y+z)(z+x)(x+y+z)^{2}\geq 24xyz(x^2+y^2+z^2).

Fie A, B, C trei puncte distincte cu coordonate intregi in \( \mathbb{R}^{2} \). Daca \( (|AB| + |BC|)^{2} < 8 \cdot [ABC] + 1 \), sa se arate ca A, B, C sunt 3 varfuri ale unui patrat. (Prin \( |XY| \) s-a notat lungimea segmentului XY, iar prin \( [ABC] \) aria triunghiului ABC.)

A6, Putnam 1998

Este adevarata si urmatoarea generalizare a teoremei Brianchon: Daca un poligon cu \( 4n+2 \) laturi este circumscris la o conica si \( 2n \) diagonale (din cele \( 2n+1 \)) sunt concurente, atunci si ultima diagonala trece prin punctul respectiv de concurenta al celor \( 2n \).