Teorema lui Ceva

[Andi Brojbeanu]

Teorema (Ceva). Se considera un triunghi \( ABC \) si punctele \( A^\prime\in BC \), \( B^\prime\in CA \), \( C^\prime\in AB \). Daca dreptele \( AA^\prime, BB^\prime \) si \( CC^\prime \) sunt concurente, atunci: \( \frac{A^\prime B}{A^\prime C}\cdot\frac{B^\prime C}{B^\prime A}\cdot\frac{C^\prime A}{C^\prime B}=1 \).

[Virgil Nicula]

Andi Brojbeanu, apreciez ca incerci sa participi la constructia acestei sectiuni atat de necesara, insa pentru moment destul de saraca in continut. Te intreb daca te-ai gandit ca cele trei puncte pot apartine si dreptelor suport ale laturilor astfel incat AM , BN , CP sa fie totusi concurente, mai clar, punctul lor de intersectie sa nu apartina neaparat interiorului triunghiului dat ? Rog pe Andi daca stie sau pe altcineva sa formuleze exact teorema lui Ceva. Aici este sectiunea teoretica unde nu se permite nici o ambiguitate. Mai ales ca suntem printre universitari. La clasa mai intelegem si corectam in cele din urma. Sectiunea teoretica trebuie sa fie ca un manual, limpede si fara greseala.

[Cosmin Pohoata]

Fie ABC un triunghi oarecare si punctele M, N, P pe laturile BC, AC, respectiv AB. Daca \( AM,\ BN, \ CP \) sunt concurente, atunci sa se demonstreze ca \( \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CN}{NA}\cdot \frac{AP}{PB}=1. \)

Am atasat aici un material (de nivel nu prea ridicat) ce l-am scris acum vreo 2-3 ani cu o demonstratie sintetica (ce nu am mai gasit-o prin sursele clasice) si cateva aplicatii utile ale acestei teoreme si a reciprocii sale. Spor la treaba.

PS. Scuzati eventualele greseli de tipar, caci materialul nu a mai fost (re)citit de atunci.

[Andi Brojbeanu]

Fie \( \{P\}=AA^{\prim} \cap BB^{\prim} \cap CC^{\prim} \).
Aplicam teorema lui Menelaus pentru triunghiul \( AA^{\prim} B \) si punctele coliniare \( C, P, C^{\prim} \). Rezulta:
\( \frac{CB}{CA^{\prim}}\cdot \frac{PA^{\prim}}{PA}\cdot \frac{C^{\prim} A}{C^{\prim} B}=1 \)
Aplicam acum teorema lui Menelaus pentru triunghiul \( AA^{\prim} C \) si punctele coliniare \( B, P, B^{\prim} \). Rezulta:
\( \frac{BA^{\prim}}{BC}\cdot \frac{B^{\prim} C}{B^{\prim} A}\cdot \frac{PA}{PA^{\prim}}=1 \)
Inmultind ultimele doua relatii se obtine:
\( \frac{A^{\prim} B}{A^{\prim} C}\cdot \frac{B^{\prim} C}{B^{\prim} A}\cdot \frac{C^{\prim} A}{C^{\prim} B}=1 \).

[Virgil Nicula]

Cosmine, se pare ca aici vorbim singuri. Atunci mai pun o intrebare : stie Andi ca aceasta teorema are si o reciproca ?! De fapt este mai frecvent a dovedi ca trei drepte sunt concurente decat a evalua niste "amarate" de rapoarte dintr-o concurenta data ... Altfel, teorema postata ramane doar un exercitiu de a folosi ... LaTeX.