mateforum.ro

Fie A_1,A_2,...,A_n , ( n\ge3 ), n puncte distincte in plan astfel incat fiecare triunghi A_i A_j A_k cu i,j,k\in {1,2,...,n} , i,j,k distincte doua cate doua, este obtuzunghic. Aratati ca exista un punct A_{n+1} in plan astfel incat fiecare triunghi A_i A_j A_{n+1} cu i\ne j , i,j\in{1,2,...,n} est...

Fie 3n (n\ge 1) puncte in plan, oricare trei necoliniare. Sa se arate ca multimea acestor puncte formeaza varfurile a n perechi de triunghiuri disjuncte. SPANIA Am intrebat acolo si am aflat ca de fapt a fost o greseala de traducere a enuntului, erau de fapt n triunghiuri disjuncte, sau ceva de gen...

Fie ABCD un patrat si M,N doua puncte care se afla pe doua laturi distincte ale patratului. Presupunem ca MN imparte patratul in doua poligoane circumscriptibile. Notam cu R si r razele cercurilor inscrise in cele doua poligoane si se presupune cunoscut ca R>r. Sa se afle lungimea segmenului MN in f...

Fie numerele reale \( a,b,c\in[0,\infty) \) astfel incat \( a+b+c=2 \). Sa se arate ca:
\( \frac{bc}{\sqrt[4]{3a^2+4}}+\frac{ca}{\sqrt[4]{3b^2+4}}+\frac{ab}{\sqrt[4]{3c^2+4}}\le\frac{2*\sqrt[4]{3}}{3} \)
Spania

Fie a,b,c,d numere complexe astfel incat ad-bc\neq0 si fie n\ge2 un numar natural fixat. Consideram ecuatia: (ax+b)^{n}+(cx+d)^{n}=0 . a)Sa se arata ca daca |a|=|c| , atunci radacinile ecuatiei sunt situate pe o dreapta. b)Sa se arata ca daca |a|\neq|c| , atunci radacinile ecuatiei sunt situate pe u...

Aplicam teorema cosinusului si merge :D postez o demonstratie completa cand o sa gasesc una mai interesanta :twisted: E destul de complicata :P. Daca facem calculele ne da: 2-a\overline{b}-\overline{a}b-a\overline{c}-\overline{a}c+b\overline{c}+\overline{b}c\ge-1 , adica a\overline{b}+b\overline{a}...

Fie a , b , c\in (0,1) si x , y , z\in (0,\infty) astfel incat a=(bc)^x , b=(ca)^y , c=(ab)^z . Sa se arate ca : \sum\ \frac 1{x+y+2}\ \le\ 1 . Cezar si Tudorel Lupu, Constanta Deci, x=\log_{bc}a , y=\log_{ac}b , z=\log_{ab}c . \sum\frac{1}{x+y+2}=\sum\frac{1}{(x+1)+(y+1)}=\sum\frac{1}{\log_{bc}abc...

Demonstrati ca daca \( a,b,c\in\mathbb[0,1] \), atunci:
\( \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}+abc\le\frac{5}{2} \).
Vasile Pop, Cluj, Shortlist 2007

Demonstrati ca daca o functie \( f:{R}\rightarrow{R} \) are proprietatea:
\( |\sum_{k=1}^n 2^k(f(x+ky)-f(x-ky))|\le1 \), oricare \( n\in\mathbb{N}* \) si oricare \( x,y\in\mathbb{R} \), atunci f este constanta.
Farcas Csaba, Cluj, Shortlist 2007

Interesant . Dar se poate gasi matematic, fara a folosi vreun program de calcul?

Fie a\in\mathbb{N}, a\ge2 . Definitm sirul (a_n)_{n\ge0} prin relatiile: x_0=\frac{a^2}{4}, x_1=\frac{2a^4-4a^3-a^2+4a}{4} si x_{n+1}-(4a^2-2)x_n+x_{n-1}=0 , pentru n\ge1 . Sa se arate ca numarul 2x_n-\frac{a^2-2}{2} este patrat perfect pentru orice n\in\mathbb{N} . Stefan Alexe, Pitesti, Shortlist ...

Fie \( a,b>1 \). Rezolvati ecuatia:
\( a^{bx}+b^{\frac{a}{x}}=a^b+b^a \).
Marin Chirciu, Pitesti, Shortlist 2005

Gasiti toate perechile de numere complexe \( (z_1,z_2) \) care satisfac simultan conditiile:
a)\( |1+z_1+z_2|=|1+z_1|=1 \);
b)\( |z_1z_2(z_1+z_2)|=2(|z_1|+|z_2|) \).
Valentin Voricu, Shortlist 2004

Sa se arate ca ecuatia \( 5^x+6^{\frac{1}{x}}+7^{x+\frac{1}{x}}=58 \) nu admite solutii in multimea numerelor reale.
Mariana Coada, Shortlist 2004

Demostrati ca pentru orice numere reale x,y, avem:
\( |cosx|+|cosy|+|cos(x+y)|\ge1 \).
Dorin Arventiev, Constanta, Shortlist 2003

Fie \( z_1,z_2,...,z_n, n\ge4 \), numere complexe (nu neaparat diferite), pentru care:
\( |z_1|+|z_2|+...+|z_n|=1 \).Demostrati ca se pot alege unele dintre acestea pentru care modulul sumei este strict mai mare decat \( \frac{1}{4} \).
Valentin Vornicu, Shortlist 2003

Rezolvati ecuatia:
\( 5^x+5^{x^2}=4^x+6^{x^2} \).
Nicolae Dragomir, Shortlist 2003