Matrice ce invariaza varfurile unui hipercub

[Alin Galatan]

Fie \( A\in M_n(R) \) astfel ca \( ||Ax||=||x|| \), pt. orice vector \( x \), unde norma este norma infinit (maximul modulului componentelor).
Demonstrati ca exista un k natural astfel ca \( A^k=I_n \).

[Dragos Fratila]

In primul rand sa observam ca daca luam \( x=(sgn(a_{i1}),\ldots,sgn(a_{in}) \) atunci obtinem ca suma modulelor elementelor de pe linia \( i \) este majorata de 1, pentru orice \( i \). (*)

Luam pe post de \( x \), pe rand, vectorii coloana care au 1 pe pozitia k si 0 in rest.
Obtinem ca fiecare coloana are cel putin un element de modul 1.
Din (*) rezulta ca doua dintre aceste elemente care au modulul 1 nu se pot afla pe aceeasi linie. Asadar matricea contine pe fiecare linie si pe fiecare coloana exact un element de modul 1. Din (*) rezulta ca restul elementelor vor fi 0. Adica matricea noastra A este o matrice care are un singur element pe fiecare linie si coloana si acesta este +1 sau -1 (e un fel de matrice permutare).

Acuma daca o ridicam la puterea \( 2\cdot n! \) obtinem \( I_n \).

[lasamasatelas]

Un enunt mai precis cu ddaca. (Adica "daca sau numai daca".)

Matricele de acest fel sunt exact matricele de forma \( A=\sum_{i=1}^n{\pm}e_{i,{\sigma}(i)} \), unde \( {\sigma\in}S_n \). (Cu \( e_{i,j} \) notam elementul lui \( M_n({\mathbb}R) \) care are 1 pe pozitia (i,j) si 0 in rest.)

Daca \( x=(x_1,...,x_n)^t \), atunci \( Ax=({\pm}x_{{\sigma}(1)},...,{\pm}x_{{\sigma}(n)})^t \) deci \( ||Ax||=||x|| \).

In plus \( ord(A)=ord({\sigma}) \) sau \( 2ord({\sigma}) \). (Avem ca \( A^{ord({\sigma})} \) e de forma \( diag({\pm}1,...,{\pm}1) \) deci \( A^{2ord({\sigma})}=I_n \).)

Demonstratia nu e foarte grea, dar mi-e lene s-o scriu.