Examen: Geometrie diferentiala
Profesor: L. Nicolescu
(T1) Interpretarea geometrica a curburii unei curbe in \( E_3 \).
(T2) Sa se demonstreze ca daca \( f:U\longrightarrow E_n \) este o hipersuprafata ombilicala, atunci \( Im f \) este inclusa intr-un hiperplan sau intr-o hipersfera.
(E2) Fie \( f:\mathbb{R}^2\longrightarrow E_3 \),\( f(x)=((2+\sin x^1)\cos x^2,(2+\sin x^1)\sin x^2, \cos x^1) \). Sa se determine planul tangent la suprafata intr-un punct oarecare si sa se calculeze curburile principale ale suprafetei \( f \).
P.S. Mai este inca un subiect (exercitiu) pe care nu il mai stiu.
Examen geometrie anul II, semestrul I, 17 ian 2008
09.02.2008 prof. Hirica
Teorie (enunt si demonstratie)
1) Teorema Lancret (sau reperul Frenet)
2) Invarianta formei a II-a fundamentale la izometrii proprii (sau a primei forme)
Exercitii
1) \( c: (0,\infty)\rightarrow E_2 \), \( c(t)=(t^2cos(\frac{1}{t}),t^2sin( \frac{1}{t})) \). Sa se scrie ecuatia tangentei in punctul \( c(\frac{1}{\pi}) \) si sa se calculeze \( K_1(\frac{1}{\pi}) \).
2) \( f:R^2 \rightarrow E_3 \), \( f(x^1,x^2)=(x^1+x^2,x^1-x^2,x^1x^2) \)
\( K(x)=? \), \( R_{1221}=? \).
Teorie (enunt si demonstratie)
1) Teorema Lancret (sau reperul Frenet)
2) Invarianta formei a II-a fundamentale la izometrii proprii (sau a primei forme)
Exercitii
1) \( c: (0,\infty)\rightarrow E_2 \), \( c(t)=(t^2cos(\frac{1}{t}),t^2sin( \frac{1}{t})) \). Sa se scrie ecuatia tangentei in punctul \( c(\frac{1}{\pi}) \) si sa se calculeze \( K_1(\frac{1}{\pi}) \).
2) \( f:R^2 \rightarrow E_3 \), \( f(x^1,x^2)=(x^1+x^2,x^1-x^2,x^1x^2) \)
\( K(x)=? \), \( R_{1221}=? \).