Curbe, suprafete regulate. Nu reduc generalitatea?

[Alin Galatan]

In afara de motivul ca "sunt mai usor de studiat", de ce studiem in mare parte doar curbele si suprafetele regulate?
Mai mult, la curbe, pe cele in pozitie generala? Mie mi se pare ca pierdem f. mult din generalitate.
Intr-adevar, inteleg cazul unei curbe, \( \gamma \), care e constanta pe o vecinatate, deci are diferentiala 0. La fel si in cazul suprafetei.
Dar saraca curba \( \gamma (t)=(t^2,t^2) \) pe [-1,1] de ce nu intra in cadrul teoriei? Intr-adevar, si ea arata suspect, pt. ca de la jumatate incolo se intoarce pe unde a venit.
Apoi, pozitia generala. Curba \( \gamma(t)= (e^t, e^t) \) nu imi pare a fi in pozitie generala Si atunci gata... uitam de ea?

[Liviu Ornea]

Alin,

studiem curbe regulate pentru ca e mai usor. Dar multe dintre rezultatele demonstrate merg si in cazul mai general al diferentiabilitatii pe portiuni. Doar ca demonstratiile devin mai delicate. Vezi, de exemplu, teorema indicelui pentru curbe plane.
Un exemplu concret in care se lucreaza cu diferentiabilitate pe portiuni e teorema Gauss-Bonnet.

In privinta suprafetelor, exista o teorie intreaga a suprafetelor convexe, definite ca frontiere de corpuri convexe din \( \mathbb{R}^3 \). Un maestru in domeniu este Tudor Zamfirescu (Dortmund). La noi, se ocupa cu asa ceva Costin Vilcu (IMAR).

Mai general, pentru varietati, exista o scoala intreaga de geometri (a la Gromov) care evita diferentiabilitatea. Ei lucreaza pe spatii (compacte) cu distanta: spatii topologice separate pe care e definita o distanta. Multimea lor poate fi de asemenea dotata cu o metrica (Hausdorff-Pompeiu).
Varietatile riemanniene sint cazuri foarte particulare de spatii cu distanta: metrica riemanniana induce o distanta (lungimea minima a curbelor care unesc doua puncte date). Se arata ca topologia indusa de distanta coincide cu cea de varietate.
Pe spatiile cu distanta nu se poate spune cit este curbura, dar se poate spune daca curbura e mai mare (sa mai mica) decit a unui spatiu model cu curbura constanta \( k \). E foarte geometric: se ia un unghi cu laturi geodezice (segmente de lungime minima) si se masoara. Se construieste pe spatiul model (de obicei sfera sau pseudosfera) un unghi congruent, cu laturi egale cu ale celui initial. Se masoara segmentul care inchide unghiul. Se compara cu segmentul omolog din spatiul initial. Daca pe model e mai mic, atunci spatiul initial are curbura mai mare decit \( k \). Aici e, de fapt, teorema lui Toponogov luata ca definitie. Asemenea spatii metrice, cu curbura marginita inferior, se numesc spatii Alexandrov (au contributii aici Gromov, Perelmann, Cheeger, Ivanov, Burago etc). Se arata ca, in afara unei multimi neglijabile, ele sint de clasa acel putin \( \mathbb{C}^2 \). Se arata ca, in spatiul tuturor spatiilor cu distanta, limita unui sir de spatii Riemann compacte e un spatiu Alexandrov.

Pentru cei interesati, cartea de baza este: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Transl. from the French by Sean Michael Bates. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. Edited by J. LaFontaine and P. Pansu. 3rd printing. (English)
Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser. xx, 585~p. EUR~37.40; SFR~58.00; (2007) (sau versiunea franceza).

Scuze pentru lungimea postului.
L.O.

[Alin Galatan]

E chiar bine ca scrie lumea posturi lungi
Legat de \( (e^t, e^t, e^t) \), imi cer scuze, dar nu am relizat ca de fapt e o semidreapta.