Ecuatie diofantica

[Vlad Matei]

Determinati numerele intregi strict pozitive \( n,x,y \) pentru care \( 2^{x}-n^{y+1}=\{1,-1\} \)

Calin Popescu, Stelele matematicii 2007

[Marius Mainea]

Caz 1. \( 2^x-n^{y+1}=-1 \)

a) y par; atunci \( n^{y}+n^{y-1}+.......+n+1 \) este impar si deci este egal cu 1, deci n=0, contradictie.

b) y impar; atunci n-1 si n+1 sunt divizori ai lui \( 2^x \). Deci \( n-1=2^a,\ n+1=2^b,\ a<b \). Avem \( 2^b-2^a=2 \) si de aici \( a=1,\ b=2,\ n=3 \).

Ecuatia devine \( 2^x=3^{y+1}-1 \).

Avem \( 3^{y+1}-1=2^x\equiv 0 \pmod 4 \) si deci y+1 este par; y+1=2k \( 2^x=(3^k-1)(3^k+1),\ 3^k-1=2^a,\ 3^k+1=2^b,\ a<b,\ a+b=x \).

Se obtine a=1, b=2, x=3, y=1, n=3.

Caz 2. \( 2^x-n^{y+1}=1 \)

a) y par; atunci \( n^y-n^{y-1}+......-y+1 \) este impar, este 1 si de aici n=1, x=1, y este arbitrar par.

b) y impar; atunci sau x=1, n=1, y este arbitrar impar sau \( x\geq2 \), \( 2^x\equiv 0 \pmod 4 \), \( n^{y+1}+1\equiv 2 \pmod 4 \) ceea ce este o contradictie.

In concluzie in cazul 2 avem n=1, x=1, y arbitrar.