Criteriul de integrabilitate Lebesgue

[Doru Popovici]

Fie f:[a,b]->R. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1. functia f este o functie integrabila Riemann
2. functia f este marginita si multimea punctelor sale de discontinuitate este neglijabila.

[Doru Popovici]

O submultime A a lui \( \mathbb{R} \) este neglijabila (sau de masura Lebesque nula) daca pentru orice \( \epsilon>0 \), exista un sir \( (I_n)_n \) de intervale marginite de numere reale astfel incat \( \sum_{n\geq 1} l(I_n)<\epsilon \) si \( A\subset \Bigcup_{n\geq 1}I_n \), unde \( l(I_n) \) este lungimea intervalului.

Prop ale multimilor neglijabile:

1. \( A\subset \mathbb{R} \) este finita, atunci ea este neglijabila.
2. Daca B este neglijabila si \( A\subset B \), atunci si A este neglijabila.
3. Daca \( (A_n) \) este un sir de multimi neglijabile atunci si reuniunea acestora este tot o multime neglijabila.

Ex: multimile numarabile sunt neglijabile.