Grupuri de ordin par
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
Grupuri de ordin par
Este adevarat ca pentru un grup de ordin par > 2 grupul sau de automorfisme are tot ordin par?
-
opincariumihai
- Thales
- Posts: 134
- Joined: Sat May 09, 2009 7:45 pm
- Location: BRAD
Rezultatul este afirmativ in cazul in care grupul este abelian.
Distingem cazurile:
1. Exista un x din G astfel incat \( x^2\neq e \) (elementul neutru). Atunci numarul automorfismelor este par ( pentru demonstratie vezi http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=417 ... abc93dc348
2. Oricare ar fi x din G avem \( x^2=e. \)
Rezulta G este \( Z_2 \)-spatiu vectorial. Fie B={a, b, c, ...} o baza a sa. Cum G are mai mult de 2 elemente, baza are cel putin 2 elemente. Definim pe G functia f in felul urmator: Pentru x din G , \( x=a^nb^mc^p... \) \( f(a^nb^mc^p...)=a^mb^nc^p... \) (se inverseaza exact doi exponenti). f este automorfism involutiv, deci \( Aut(G) \) contine un element de ordin 2, deci numarul automorfismelor este par.
Daca grupul nu este abelian rezultatul nu mai functioneaza...
Distingem cazurile:
1. Exista un x din G astfel incat \( x^2\neq e \) (elementul neutru). Atunci numarul automorfismelor este par ( pentru demonstratie vezi http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=417 ... abc93dc348
2. Oricare ar fi x din G avem \( x^2=e. \)
Rezulta G este \( Z_2 \)-spatiu vectorial. Fie B={a, b, c, ...} o baza a sa. Cum G are mai mult de 2 elemente, baza are cel putin 2 elemente. Definim pe G functia f in felul urmator: Pentru x din G , \( x=a^nb^mc^p... \) \( f(a^nb^mc^p...)=a^mb^nc^p... \) (se inverseaza exact doi exponenti). f este automorfism involutiv, deci \( Aut(G) \) contine un element de ordin 2, deci numarul automorfismelor este par.
Daca grupul nu este abelian rezultatul nu mai functioneaza...
Last edited by opincariumihai on Tue Aug 04, 2009 12:54 pm, edited 6 times in total.