Matrice si convergenta slaba

[Iulian]

Daca am niste operatori \( T_{n} \) pe un spatiu Hilbert atunci pot sa le asociez o matrice intr-o baza fixata de la bun inceput. Mai am un operator cu tot cu matrice si stiu ca intrarile din matricile lui \( T_{n} \) converg la intrarile corespunzatoare in matricea lui T. Atunci \( T_{n} \) converge w.o. la T? Altfel spus daca \( <T_{n}\xi_{i},\xi_{j}> \) converge la \( <T\xi_{i},\xi_{j}> \) pentru orice i si j, atunci \( T_{n} \) converge w.o. la T?

[Liviu Paunescu]

Raspunsul la intrebare este nu. Cel putin in ipotezele acestea. Fie \( T_n\xi_n=2^n\xi_1 \) si in rest \( 0 \). Matricea lui \( T_n \) este o matrice care are doar zerouri mai putin pe pozitia \( (1,n) \) unde este \( 2^n \). Evident sunt satisfacute conditiile din enunt, matricea limita fiind matricea \( 0 \).

Fie acum \( \eta=(1/2,\ 1/4,\ 1/8,\ldots) \). Atunci \( T_n(\eta)=\xi_1 \) pentru orice \( n \). Deci \( <T_n\eta,\xi_1>\to 1 \) si ar fi trebuit \( 0 \) in cazul convergentei slabe.

Intrebarea la care nu stiu sa raspund acum este ce se intampla daca cerem marginire. Adica daca cerem ca operatorii \( T_n \) sa fie in celebra bila unitate din \( B(H) \)?

[Alexandru Chirvasitu]

Atunci devine adevarat. De fapt, date ipotezele problemei, convergenta slaba a sirului \( (T_n)_n \) e echivalenta cu ipoteza suplimentara de marginire uniforma a sirului:

Convergenta slaba \( \Rightarrow \) marginire uniforma e o consecinta a Principiului Marginirii Uniforme. E esential aici ca avem un sir; argumentul asta nu merge pentru siruri generalizate. Cat despre reciproca, e un argument standard. Se obtine mai intai convergenta \( (T_nx,y)\to(Tx,y) \) pentru combinatii liniare finite \( x,y \) de elemente ale bazei \( (\xi_i)_i \), dupa care se aproximeaza orice vector arbitrar de bine cu astfel de combinatii liniare, etc. Las "cititorului" placerea de a descoperi exact unde intervine marginirea uniforma . Partea asta merge si pentru siruri generalizate.