Pentru orice operator pozitiv \( a\in B(H) \) definim "urma" lui astfel: alegem o baza ortonormala \( \{\xi_{n}\}_{n} \) a lui \( H \) si punem
\( \tr(a)=\sum_{n} (a\xi_{n}| \xi_{n}) \in [0, \infty] \).
Sa se arate \( \tr(v^{*}av)\leq\tr(a) \) pentru orice \( v\in B(H) \) izometrie partiala.
Operatorul "urma" pe B(H)
Moderator: Liviu Paunescu
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Operatorul "urma" pe B(H)
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
Raspunsul este in mare parte cuprins in definitia urmei, in sensul ca aceasta nu depinde de alegerea bazei ortonormale, exinderea acesteia la toti operatorii cu urma finita (idealul operatorilor nucleari), si proprietatea \( \mathrm{tr}(ab)=\mathrm{tr}(ba) \), afirmatii care trebuie demonstrate in prealabil. Astfel, inegalitatea este netriviala doar pentru \( a \) operator nuclear. In acest caz, daca izometria partiala \( v \) are suportul stang (proiectia ortogonala pe inchiderea imaginii) \( p \) atunci \( \mathrm{tr}(v^*av)=\mathrm{tr}(v^*papv)=\mathrm{tr}(vv^*pap)=\mathrm{tr}(pap)\leq \mathrm{tr}(a) \), ultima inegalitate are loc deoarece putem alege baza ortonormala in mod particular ca o extensie a unei baze ortonormale a subspatiului \( \mathrm{Ran}(p) \), imaginea proiectiei ortogonale \( p \).
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.