Echipotenta si grupuri de permutari izomorfe

[Iulian Cimpean]

Fie X, Y multimi. Aratati ca grupul permutarilor lui X e izomorf cu grupul permutarilor lui Y <=> X echipotenta cu Y!

[Beniamin Bogosel]

Daca \( X,Y \) sunt echipotente, atunci \( S_X\simeq S_Y \) ( \( g :X \to Y \) bijectiva, \( \phi(x)=g^{-1}xg \) e o bijectie de la \( S_Y \) la \( S_X \).)

Reciproc, daca \( S_X \) si \( S_Y \) sunt izomorfe, presupunem ca \( |X|<|Y| \). Putem considera \( X\subset Y \). Atunci \( S_X \) e izomorf cu subgrupul \( S \) al lui \( S_Y \) care contine functiile care restrictionate la \( Y\setminus X \) sunt identitatea pe aceasta multime. Dar \( S_X \) si \( S_Y \) sunt izomorfe, deci \( S=S_Y \). Aceasta e o contradictie, pentru ca exista functii in \( S_Y \setminus S \).

Deci \( |X|=|Y| \).

[Beniamin Bogosel]

Da. M-am grabit. Am zis ca e ca si la spatii vectoriale...
Nu exista ceva rezultate care sa ajute demonstratia pe calea asta? Dupa cate vad, cred ca \( S \) este chiar subgrup normal in \( S_Y \), deci \( S_X \) e izomorf cu un subgrup normal din \( S_Y \). Mai departe nu stiu. Care era ideea din carte?