Dreapta perpendiculara pe bisectoare

[Claudiu Mindrila]

In \( \triangle{ABC} \) sunt duse mediana \( AA_{1} \) si bisectoarea \( AA_{2} \), iar punctul \( K \) este un punct pe dreapta \( AA_{1} \) a. i. \( KA_{2} \parallel AC \).
Demonstrati ca \( AA_{2} \perp KC \)

[Marius Mainea]

Demonstram urmatoarea proprietate:

,, Daca ABC triunghi si \( A_1 \) respectiv \( A_2 \) sunt picioarele medianei si bisectoarei din A iar K este un punct pe \( AA_1 \) astfel incat \( CK\perp AA_2 \), atunci \( A_1K\parallel AC \)''

Dem:

Din teorema Menelaus \( \frac{CK}{KD}=\frac{c}{b} \)

Unde \( \{D\}=CK\cap AB \)

Se arata apoi folosind teorema lui Menelaus \( \frac{KD}{KL}\cdot\frac{LA_2}{A_2A}\cdot\frac{AP}{PD}=1 \) ca \( \frac{AP}{PD}=\frac{c}{b} \)

unde \( \{P}=A_2K\cap AB \) si \( \{L\}=CK\cap AA_2 \)

Folosind apoi axioma lui Euclid se obtine rezolvarea problemei noastre.

[Claudiu Mindrila]

Daca \( \left\{ P\right\} =AA_{2}\cap CK \), \( B^{\prime} \) este mijlocul lui \( AC \) si \( \left\{ O\right\} =PB^{\prime}\cap A_{2}K \) este cunoscut faptul ca \( P,\ O,\ A_{1},\ B^{\prime} \) sunt coliniare. Asadar \( O \) este mijlocul lui \( A_{2}K \).Cum \( A_{2}K\parallel AC \) si \( PB^{\prime}\parallel AB \) obtinem \( \widehat{PA_{2}K}=\widehat{A_{2}PO}=\frac{\widehat{A}}{2} \), ceea ce inseamna ca \( PO=A_{2}O=\frac{1}{2}A_{2}K \), adica \( \widehat{A_{2}PK}=90^{\circ} \).