IMAC Juniori II 15 mai 2010 Subiectul II

[Andi Brojbeanu]

a) Aflati toate numerele de forma \( 999...99 \) formate din \( n (n\ge 1) \) cifre de \( 9 \), care sunt patrate perfecte.
b) Cate numere de forma \( 616161...6161 \) sunt patrate perfecte? Justificati.
Canada

[andreiilie]

Draguta pb:). Pt punctul 1 observam ca numarul poate fi scris ca 9*111....1 .Notam numarul de cifre de 1 cu t. Daca nr trb sa fie patrat perfect, atunci , cum 9 =p.p, este necesar ca si 111....1 sa fie p.p. .
Pt aceasta, consideram 2 cazuri, si anume:

a) numarul de cifre al lui 1111...1 este un nr par

b) nr de cifre al lui 11...111 este un nr impar.


Ptr a)Folosim procedeul de extragere a radacinii patrate, deci impartim numarul in in t/2 grupe de cate 2 nr si observam ca, dupa a x-a grupa pe care am coborat-o jos pt a-i aplica algoritmul, vom avea 66..6_ * _ mai mic sau egal cu 222...211 , unde numarul de cifre de 6 este x-1, la fel ca nr de cifre de 2. In final, cand ajungem la grupa t/2 de coborat jos pt a-i aplica procedeul, vom avea exact cazul general expus mai sus, dar in loc de x va fi t/2.

dar cum
66666...6_ * _ nu poate fi egal cu 2222....211 ( daca _=3, nr este mai mic, daca _=4 este mai mare) => numaruld e cifre nu poate fi par.

b) se aplica un rationament asemanator, si, evident, unul dintre raspunsuri va fi n=1( deoarece 9 este patrat perfect) . Imi cer scuze ca nu pot redacta si b, dar ma duc sa ma uit la meciul Braziliei:) . O zi buna ! ( sper sa revin si cu b)

[andreiilie]

Acu observ, m-am gandit prea complicat pt o problema de clasa a 6a
Varianta MULT mai simpla:
\( A=\overbrace{ 99\cdots99 }^{n} =( 3^2) \overbrace{ 11\cdots11 }^{n} \)
Pentru \( n >1 \), A nu este patrat perfect EVIDENT, deoarece \( A=\overbrace{11\cdots11}{n}=M_4+3 \) nu este p.p. .
Prin urmare, verifica doar pt n=1