IMAC 2009, Problema 4

[Mr. Ady]

Se consideră a, b, c trei numere întregi.
1) Să se demonstreze că numărul
\( x=(a-b)^2(a-c)^2+(b-c)^2(b-a)^2+(c-a)^2(c-b)^2 \) este pătrat perfect.
2) Dacă există un număr înteg d cu proprietatea că \( a^3+b^3+c^3=4d^3 \), să se demonstreze că 3 divide abc.

[andreiilie]

Fara a restarange generalitatea, consideram a mai mare sau egal cu b mai mare sau egal cu c ( relatia este simetrica, deci analog pt toate celelalte cazuri.)

\( x=[(a-b)(a-c) + (b-c)(a-b) + (a-c)(b-c)]^2 - 2[(a-b)^2(b-c)(a-c) + (b-c)^2(a-c)(a-b) +(a-c)^2(a-b)(b-c)] \)

( am adaugat termeni si dupa i-am scazut astfel incat sa obtin primul patrat, desigur, cunoscand \( (x+y+x)^2=x^2+y^2+z^2 +2xy + 2xz +2yz \) )

Deci,
\( x=[(a-b)(a-c) + (b-c)(a-b) + (a-c)(b-c)]^2 - 2(a-b)(a-c)(b-c)[(a-b)+(b-c)+(a-c)]
x=[(a-b)(a-c) + (b-c)(a-b) + (a-c)(b-c)]^2 - 2(a-b)(a-c)(b-c)(2a-2c)
x=[(a-b)(a-c) + (b-c)(a-b) + (a-c)(b-c)]^2 - 4 (a-c)^2(a-b)(b-c)
\)

Desfacand termenii din paranteza \( [(a-b)(a-c) + (b-c)(a-b) + (a-c)(b-c)]^2 \) obtinem (desigur, si prin reducerile de rigoare intre termenii de acleasi fel)

\( x=[(a-c)^2-ac+ab+bc-b^2]^2 -4 (a-c)^2(a-b)(b-c) \)

\( -ac+ab+bc-b^2 \) se restrange in \( (b-c)(a-b) \)

Prin urmare
\( x=[ (a-c)^2 +(b-c)(a-b)]^2- 4 (a-c)^2(a-b)(b-c) \)

Prin desfacerea patratului \( (a-c)^2 +(b-c)(a-b)]^2 \), si inlocuirea lui in relatie obtinem
\( x=(a-c)^4+(b-c)^2(a-b)^2 +2(a-c)^2(b-c)(a-b) - 4(a-c)^2(b-c)(a-b) =>
x=[(a-c)^2 -(b-c)(a-b)]^2 = patrat perfect Q.E.D. \)
Imi cer scuze pentru eventualele greseli, prima oara cand folosesc LaTeX-ul . Sper ca m-am facut inteles. O zi buna!

[Mr. Ady]

Nici o problema, si eu folosesc de astazi LaTeXul . Frumoasa rezolvare Te-ai uitat la problema de geometrie?:-?

[andreiilie]

Nu, o sa arunc acum o privire pe ea:)