Concurenta data de o relatie

[Mateescu Constantin]

Se consideră un triunghi \( ABC \) şi un punct \( M \) în interiorul său . Se notează cu \( D \) , \( E \) , \( F \) proiecţiile lui

\( M \) pe laturile \( BC \) , \( CA \) respectiv \( AB \) şi cu \( r \) lungimea razei cercului înscris în triunghi . Să se arate că,

dacă \( \begin{array}{ccc}\frac{BC}{MD} & + & \frac{CA}{ME} & + & \frac{AB}{MF} & = & \frac{AB+BC+CA}r\end{array} \) , atunci dreptele \( AD \) , \( BE \) şi \( CF \) sunt concurente .

Lucian Dragomir, lista scurtă 2010

[Claudiu Mindrila]

Relatia data este un caz de egalitate al inegalitatii CBS

[Andi Brojbeanu]

\( LHS=\frac{BC}{MD}+\frac{CA}{ME}+\frac{AB}{MF}=\sum{\frac{BC^2}{BC\cdot MD}}\ge\frac{(AB+BC+CA)^2}{2(S_{MBC}+S_{MAC}+S_{MAB})}=\frac{4p^2}{2S_{ABC}}=\frac{2p}{\frac{S_{ABC}}{p}}=\frac{AB+BC+CA}{r}=RHS\Rightarrow \frac{BC}{BC\cdot MD}=\frac{CA}{CA\cdot ME}=\frac{AB}{AB\cdot MF} \) (cazul de egalitate al inegalitatii CBS)\( \Rightarrow \frac{1}{MD}=\frac{1}{ME}=\frac{1}{MF}\Rightarrow MD=ME=MF\Rightarrow M=I \)-centrul cercului inscris triunghilui \( ABC \)\( \Rightarrow BD=BF, CD=CE, AE=AF \)(tangente din punctele \( B, C, A \) la cercul inscris triunghiului \( ABC \)).
Asadar, \( \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{BD}{BF}\cdot\frac{CD}{CE}\cdot \frac{AE}{AF}=1\Rightarrow \)(Reciproca teoremei lui Ceva)\( AD, BE, CF \) sunt concurente.