3x_n+x_{3n} convergent implica x_n convergent

[andy crisan]

Sa se arate ca daca sirul \( (x_n)_{n\geq 1} \) este marginit si \( (3x_n+x_{3n})_{n\geq 1} \) este convergent, atunci \( (x_n)_{n\geq 1} \) este convergent.

Grigore Moisil, Zalau

[mychrom]

Pentru ca \( x_n \) este marginit, exista si sunt finite \( \limsup x_n = M \) si \( \liminf x_n = m \). Fie \( L \) limita sirului \( 3x_n+x_{3n} \) si fie \( x_n_k \) un sir cu limita \( M \). Atunci \( \lim x_{3n_k}=L-3M \), deci \( L-3M \geq m \), adica \( L \geq 3M+m \) . Analog deducem ca \( L \leq M+3m \), deci, comparand ultimele doua relatii, \( m \geq M \). In concluzie, sirul este convergent.