Numar de subgrupuri

[Theodor Munteanu]

Pentru un grup finit G notam cu s(G) numarul subgrupurilor sale.
a)Pentru orice numar real a>0 exista grupuri finite G astfel incat \( \frac{{|G|}}{{s(G)}} < a \)
b)Pentru orice numar real a>0,exista G finit a.i. \( \frac{{|G|}}{{s(G)}} > a \)

[Laurentiu Tucaa]

Cerinta este echivalenta cu gasirea a doua siruri de grupuri \( (G_n)_{n\ge1},(H_n)_{n\ge1} \) a.i. \( \lim_{n\to\infty} \frac{|G_n|}{s(G_n)}=0 \) si \( \lim_{n\to\infty} \frac{|H_n|}{s(H_n)}=\infty \).Pt al2lea caz e simplu pt ca se poate observa ca pt p prim \( \mathbb{Z}_p \) are doar doua subgrupuri si notand \( H_n=\mathbb{Z}_{p_n} \) unde \( p_n \) este al n-lea numar prim ,avem \( \lim_{n\to\infty} \frac{|H_n|}{s(H_n)}=\lim_{n\to\infty} \frac{p_n}{2}=\infty \) ,deoarece multimea numerelor prime este nemarginita.
Pt primul caz (sper sa nu fi gresit ) avem \( S(G_1XG_2)\ge s(G_1)\cdot s(G_2) \) asta din faptul ca daca \( J_1 \) subgrup al lui \( G_1 \) si \( J_2 \) subgrup al lui \( G_2 \) atunci evident \( J_1XJ_2 \) este subgrup al lui \( G_1XG_2 \).Se poate observa ca grupul lui Klein are 5 subgrupuri .Notand \( G_n=(K_4)^n=K_4XK_4X...XK_4 \)(de n ori) avem \( \frac{|G_n|}{s(G_n)}\le\(\frac{|K_4|}{s(K_4)}\)^n=(\frac{4}{5})^n\rightarrow 0 \),si s-a terminat .