Sir

[Lena]

Fie sirul \( (x_n)_{n\geq 1}, x_1 \in R, x_{n + 1} = \frac {2}{1 + x_n^2}, n \geq 1. \) Aratati ca \( \lim_{n\to \infty} = 1 \)

Daca trecem la limita in relatia de recurenta\( \Rightarrow l = \frac {2}{1 + l^2} \)
Apoi consideram functia \( f(l) = l(1 + l^2) \). Functia este crescatoare pe intervalul \( (0, \infty) \Rightarrow \) avem doar o singura solutie, adica l=1.
Mai departe nu pot sa demonstrez ca sirul \( x_n \) este convergent. Ar trebui sa demonstrez ca este descrescator. Are cineva vreo idee?

[mihai++]

\( x_{n+1}=f(x_{n}) \) cu \( f=\frac{2}{1+x^2} \).
\( f \) ia valori doar in \( (0,2] \) si pe \( [0,2] \) e descrescatore.
Consider cazurile \( x_3\geq x_1 \) si \( x_3<x_1 \) care se trateaza analog:
Deci \( x_3\geq x_1\rightarrow x_4\leq x_2 \rightarrow x_5\geq x_3 \), si asa mai departe obtinem ca \( (x_{2k}) \) e descrescator si \( (x_{2k+1}) \) e crescator.
Cum \( x_{2k+2}=f(f(x_{2k})) \) si \( f \) e continua obtinem ca \( ff(l)=l \) cu \( l=\lim x_{2k} \).
\( f:[0,2]\to[\frac{2}{5},2] \) e bijectiva, caci e descrescatore si continua si astfel exista \( f^{-1}\rightarrow f(l)=f^{-1}(l) \) caci \( l\in[0,2] \).
Acum stim ca\( f \) si \( f^{-1} \) se intalnesc pe bisectoarea intai astfel ca \( f(l)=f^{-1}(l)\rightarrow f(l)=l \rightarrow l=1 \) solutie unica.
Analog facem si cu \( x_{2k+1} \) si obtinem ca \( x_n\to1 \).

[Marius Perianu]

Acum stim ca\( f \) si \( f^{-1} \) se intalnesc pe bisectoarea intai astfel ca \( f(l)=f^{-1}(l)\rightarrow f(l)=l \rightarrow l=1 \) solutie unica.

Nu e adevarat in general: pentru \( f(x)=\frac{1}{x} \) avem \( f(x)=f^{-1}(x) \) pentru orice \( x \) nenul. Analog pentru \( f(x)=1-x \), deci \( G_f \) si \( G_{f^{-1}} \) se pot "intersecta" si in alta parte decat pe prima bisectoare.

De fapt, proprietatea pe care o citezi spune ca daca un punct \( M(a,b) \) se afla pe graficul unei functii, atunci simetricul sau fata de prima bisectoare - punctul \( N(b,a) \) - se afla pe graficul inversei, adica \( G_f \) si \( G_{f^{-1}} \) sunt simetrice fata de prima bisectoare. Nu rezulta de aici ca intersectia lor este submultime a punctelor aflate pe prima bisectoare.
Eventual, se poate spune ca daca un punct de pe prima bisectoare se gaseste pe graficul functiei, atunci se afla si pe graficul inversei. Mai mult, din faptul ca \( M(a,b)\in G_f \cap G_{f^{-1}} \), rezulta exact faptul ca \( (f\circ f)(a)=a \) si \( (f^{-1}\circ f^{-1})(b)=b \).
Vezi si aici: http://www.mateforum.ro/viewtopic.php?t=3156&highlight=

[mihai++]

Pai da, dar functia noastra \( f \) nu e egala cu \( f^{-1} \).