Va rog sa rezolvati urmatoarea problema din g.m. nr.12/2009
Fie x,y numere intregi nenule astfel incat :
9x^2 + 6xy - 6y^2 = x - y
Aratati ca x - y este patrat perfect cel putin egal cu 9.
Ecuatie cu nr.intregi
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
Am o rezolvare dar e cam "trasa de par"; astfel:
regrupand termenii obtinem : (x - y)(1 - 6y) = 9x^2
de unde rezulta ca 9 divide (x - y) apoi demostram ca in conditiile date ca x -y si 1 - 6y sunt prime intre ele de unde rezulta concluzia.
Va rog sa ma corectati daca gresesc.
regrupand termenii obtinem : (x - y)(1 - 6y) = 9x^2
de unde rezulta ca 9 divide (x - y) apoi demostram ca in conditiile date ca x -y si 1 - 6y sunt prime intre ele de unde rezulta concluzia.
Va rog sa ma corectati daca gresesc.
Last edited by moldovan ana on Tue Mar 09, 2010 9:25 pm, edited 1 time in total.
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Cum arati ca x-y si 1-6y sunt prime intre ele?
Mai bine fa asa:
Noteaza \( x-y=t \) , ecuatia devine \( 9y^2+24yt+9t^2+t=0 \) cu \( \Delta=pp \) \( \Longleftrightarrow \) \( 7t^2+t=p^2 \)
\( t(7t+1)=p^2 \) si cum t si 7t+1 sunt prime intre ele rezulta ca fiecare e pp.
Mai bine fa asa:
Noteaza \( x-y=t \) , ecuatia devine \( 9y^2+24yt+9t^2+t=0 \) cu \( \Delta=pp \) \( \Longleftrightarrow \) \( 7t^2+t=p^2 \)
\( t(7t+1)=p^2 \) si cum t si 7t+1 sunt prime intre ele rezulta ca fiecare e pp.
Last edited by Marius Mainea on Tue Mar 09, 2010 9:44 pm, edited 1 time in total.
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
1.am ajuns exact pana aici dar nu stiu cotinua cu conditia 7t^2 + t = p^2
2.demostratia ca numerele x-y si 1-6y sunt prime intre ele este:
fie d = c.m.m.d.c.(x-y;1-6y) atunci d divide x-y si d divide 1-6y si apoi d^2 divide 9x^2 deci d divide pe x (pt.ca d = 3 este imposibil), apoi rezulta ca d divide y ,dar cum d divide si 1-6y rezulta d=1.
2.demostratia ca numerele x-y si 1-6y sunt prime intre ele este:
fie d = c.m.m.d.c.(x-y;1-6y) atunci d divide x-y si d divide 1-6y si apoi d^2 divide 9x^2 deci d divide pe x (pt.ca d = 3 este imposibil), apoi rezulta ca d divide y ,dar cum d divide si 1-6y rezulta d=1.
Last edited by moldovan ana on Thu Mar 11, 2010 9:48 am, edited 1 time in total.
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm