Supremum de puncte medii

[Laurentiu Tucaa]

Fie\( f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \) o functie continua si \( s:[0,1]\rightarrow[0,1] \) definita prin \( s(x)=sup\{c\in[0,x]\|\int_0^x f(t)dt=xf(c)\} \).
a)Sa se arate ca \( \int_0^x f(t)dt=xf(s(x)) \);
b)Sa se arate ca s este crescatoare.

Dan Stefan Marinescu si Viorel Cornea,Longlist ONM 2009(cel putin aparea in gazeta ca a fost in atentia comisiei da' nu e in shortlist,deci am presupus ca e din longlist)

[Laurentiu Tucaa]

Notez \( A_x=\{c\in[0,x]|\int_0^x f(t)dt=xf(c)\} \).
La punctul a) in cazul in care exista \( \eps>0 \) a.i.\( A_x\cup(s(x)-\eps,s(x)] \),sa fie multime finita atunci este clar ca \( s(x)\in A_x \),deci in cazul acesta avem concluzia.
In cazul celalalt daca pt orice\( \eps>0,A_x\cup(s(x)-\eps,s(x)] \) este multime infinita ,consider un sir \( x_n,\lim_{n\to\infty} x_n=s(x),x_n\in A_x,\forall n\in \mathbb{N} \).Aici din definitia lui \( x_n \) si din continuitatea functiei f avem \( xf(s(x))=\lim_{n\to\infty} xf(x_n)=\lim_{n\to\infty} \int_0^{x_n} f(t)dt=\int_0^x f(t)dt \),adica avem concluzia.
La b) presupun prin absurd ca exista a,b \( a<b a.i. s(a)>s(b) \).Din definitia lui s avem succesiunea\( s(b)<s(a)\le a<b \).Cum \( s(b)=sup A_b =>F(b)\not=bf(x),\forall x\in (s(b),b],F(u)=\int_0^u f(t)dt \).
Definim \( h: (s(b),b],h(x)=F(b)-bf(x) \).Functia are PD si din presupunere nu se anuleaza .Fara a pierde generalitatea ,presupun h>0.
Avem \( F(b)=F(a)+\int_a^b f(t)dt>bf(x),\forall x\in(s(b),b] \).
Din teorema de medie cum f este continua avem \( c\in(a,b) a.i. \int_a^b f(t)dt=(b-a)f(c) \).
Deci \( af(s(a))+(b-a)f(c)>bf(x),\forall x\in (s(b),b] \)
Pt \( x=s(a)\in(s(b),b] \),obtinem \( af(s(a))+(b-a)f(c)>bf(s(a))=>(b-a)f(c)>(b-a)f(s(a))<=>f(c)>f(s(a)) \)(1).
Pt \( x=c \) obtinem \( af(s(a))+(b-a)f(c)>bf(c)<=>f(s(a))>f(c) \)(2).
Relatiile (1) si (2) sunt contradictorii ,deci presupunerea facuta este falsa.In concluzie s este functie crescatoare.