Curbe Algebrice 2010

[dede]

Examen: Curbe Algebrice
Profesor: Paltin Ionescu

1) Tratati un subpunct la alegere:
a) Fie X neteda, \( Y,Z \subseteq X \) si T o componenta ireductibila in \( Y \cap Z \). Atunci \( dim(T) \geq dim(Y) + dim(Z) - dim(X). \)
b) Orice sistem algebric este echivalent cu un sistem in care toate ecuatiile au grad \( \leq 2. \)
c) \( \varphi : X -> Y \) aplicatie regulata, X proiectiva \( \Rightarrow \varphi(X) \) inchisa.

2) Tratati un subpunct la alegere:
a) Teorema Bezout si aplicatii.
b) Teorema Riemann - Roch si aplicatii.
c) Curbe eliptice.

3) Tratati 3 subpuncte la alegere:
a)\( X = Z(y^2 - x^2 - x^3) \subset \mathbb{A}^2 \) Aratati ca:
i) X ireductibila
ii) Sing(X) = {(0,0)}
iii) \( f : X \rightarrow k, f=\frac{y}{x} \ \ \) Dom(f) = ?
iv) X este birational izomorfa cu \( \mathbb{A}^1 \) dar nu este izomorfa cu \( \mathbb{A}^1 \).
b)Fie \( C \subset P^2 \) o curba neteda si rationala. Atunci C este dreapta sau conica.
c) Dat \( d \geq 1,\exists C \subset \mathbb{P}^3 \) curba izomorfa cu \( \mathbb{P}^1 \) si grad(C)=d.
d)Fie \( F \in k[T_1,...,T_n] - k,n\geq2 \) fara factori multipli. Daca X=Z(F) neteda si proiectiva, atunci sau F ireductibil sau F=G(G+a), \( a\in k^* \).
e) Arataci ca \( \mathbb{P}^n -\{x}, n\geq2 \) nu este nici proiectiva, nici cuasi-afina.
f) Aratati ca \( \mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1 \) si \( \mathbb{P}^2 \) sunt birational izomorfe, dar nu izomorfe.