teorema lui Nagumo

[Cezar Lupu]

Daca \( f \) este o functie continua nenegativa definita pe intervalul \( [0,1] \) astfel incat \( f(0)=0, \lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t}=0 \) si pentru orice \( t \) avem \( tf(t)\leq\int_0^t\frac{f(s)}{s}ds \). Sa se arate ca \( f\equiv 0 \).

[Tudor Micu]

Îmi face impresia că nu e adevărată.

De exemplu luăm următoarea funcţie:

\( f(t)=3t^3 \), pentru \( t\leq\frac{1}{3} \)
\( f(t)=\frac{e^3\cdot e^{-\frac{1}{t}}}{27t} \), pentru \( t>\frac{1}{3} \)
(nu ştiu să fac acolade din alea mari )

f este clar continuă (sunt ceva probleme doar în \( \frac{1}{3} \), dar acolo limita la stânga este \( 3\cdot(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{9} \), iar limita la dreapta este \( \frac{e^3}{27}\cdot\frac{e^{-3}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9}) \)

f este evident nenegativă

\( f(0)=0 \), \( \lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{3t^3}{t}=\lim_{t\to 0}3t^2=0 \)

Acum, pentru \( t\leq\frac{1}{3} \) avem \( tf(t)=3t^4 \), iar \( \int_0^t\frac{f(s)}{s}ds=\int_0^t 3s^2 ds=t^3 \), iar \( 3t^4\leq t^3 \) pentru că \( t\leq\frac{1}{3} \)

Pentru \( t>\frac{1}{3} \) avem \( tf(t)=\frac{e^{3-\frac{1}{t}}}{27} \)

\( \int_0^t\frac{f(s)}{s}ds=\int_0^{\frac{1}{3}}\frac{f(s)}{s}ds+\int_{\frac{1}{3}}^t\frac{f(s)}{s}ds \)

\( \int_0^{\frac{1}{3}}\frac{f(s)}{s}ds=\int_0^{\frac{1}{3}}3s^2 ds=\frac{1}{27} \)

\( \int_{\frac{1}{3}}^t\frac{f(s)}{s}ds=\frac{e^3}{27}\int_{\frac{1}{3}}^t\frac{e^{-\frac{1}{s}}}{s^2}ds=\frac{e^3}{27}(e^{-\frac{1}{s}}| \)(intre \( 1/3 \) si \( t) \)\( ) \)\( =\frac{e^3}{27}(e^{-\frac{1}{t}}-e^{-3})=\frac{e^{3-\frac{1}{t}}}{27}-\frac{1}{27} \)

Iar de aici obţinem \( tf(t)=\int_0^t\frac{f(s)}{s}ds \)

Deci acest f îndeplineşte toate condiţiile problemei.