Problema cu o inegalitate(own)

[Laurentiu Tucaa]

Fie \( F=\{f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}\| \) f derivabila si \( \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 x^2f(x)dx=0\} \).
a)Sa se arate ca \( \|F\|\ge 3 \);
b)Pentru o functie \( f\in F \) notam \( a(f)=inf\{f^{\prime}(x)\|x\in[0,1]\} \) si \( b(f)=sup\{f^{\prime}(x)\|x\in[0,1]\} \).Sa se arate ca \( \int_0^1 f^2(x)dx\le -\frac{a(f)b(f)}{12} \).

PS:nu cred ca ideea este noua ,dar problema asta nu am vazut-o nicaieri.Ideea mi-a venit cand incercam sa rezolv altfel decat pe barem problema 4 de la ONM 2006.