intr-un proces ireversibil entropia creste . Pe baza acestui principiu rezulta inegalitatea: ( S = m*c*ln(T), unde S=entropia, m=masa, c=caldura specifica)
((n*a + b)/(n + 1))^(n + 1)>= a^n*b unde a si b reprezinta temperaturile absolute ale corpurilor A si B puse in contact termic , iar n=m1/m2 adica raportul maselor corpurilor A si B (se subantelege de aici cred ca a, b, si n au valori reale si pozitive )
ob. pt n = 1 inegalitatea devine: ((a + b)/2)^2>= a*b care este inegalitatea lui Cauchy
Inegalitatea apare daca se considera doua corpuri de temperaturi diferite care se pun in contact termic pana au aceeasi temperatura . Facand diferenta dintre entropia finala si cea initiala si punand conditia ca ea sa fie pozitiva, se obtine inegalitatea de mai sus
cresterea entropiei
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, Radu Titiu, maky, Cosmin Pohoata
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Bine-ai venit RES (<== click) pe http://www.mateforum.ro ! Urmeaza sa inveti LaTeX ... 
\( \left(\frac {n+x}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) , adica \( \left(1+\frac {x-1}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) , unde \( \frac {x-1}{n+1}>-1 \) . Se cunoaste inegalitatea Bernoulli
\( \overline{\underline{\left\|\ x>-1\Longrightarrow (1+x)^n\ge 1+nx\ \right\|}} \) . Asadar \( \left(1+\frac {x-1}{n+1}\right)^{n+1}\ge 1+(n+1)\cdot\frac {x-1}{n+1}=x \) . Done.
Altfel, se poate aplica cunoscuta inegalitate a mediilor M.A. \( \ge \) M.G. (Cauchy) numerelor pozitive
\( x_k=a\ ,\ k\in \overline{1,n} \) si \( x_{n+1}=b\ \ :\ \ \frac {na+b}{n+1}\ge\sqrt[n+1]{a^n\cdot b} \) , adica \( \left(\frac {na+b}{n+1}\right)^{n+1}\ \ge a^n\cdot b \) . Done.
Dem. Notam \( x=\frac ba>0 \) . Impartind inegalitatea propusa prin \( a^{n+1} \) se obtine echivalent inegalitateaRES wrote:Sa se arate ca \( \overline{\underline{\left\|\ \left(\frac {na+b}{n+1}\right)^{n+1}\ \ge a^n\cdot b\ \right\|}} \) , unde \( a>0 \) , \( b>0 \) si \( n\in\mathbb N^* \) .
\( \left(\frac {n+x}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) , adica \( \left(1+\frac {x-1}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) , unde \( \frac {x-1}{n+1}>-1 \) . Se cunoaste inegalitatea Bernoulli
\( \overline{\underline{\left\|\ x>-1\Longrightarrow (1+x)^n\ge 1+nx\ \right\|}} \) . Asadar \( \left(1+\frac {x-1}{n+1}\right)^{n+1}\ge 1+(n+1)\cdot\frac {x-1}{n+1}=x \) . Done.
Altfel, se poate aplica cunoscuta inegalitate a mediilor M.A. \( \ge \) M.G. (Cauchy) numerelor pozitive
\( x_k=a\ ,\ k\in \overline{1,n} \) si \( x_{n+1}=b\ \ :\ \ \frac {na+b}{n+1}\ge\sqrt[n+1]{a^n\cdot b} \) , adica \( \left(\frac {na+b}{n+1}\right)^{n+1}\ \ge a^n\cdot b \) . Done.
(o observatie totusi \( n\in\mathbb R^* \), pentru ca poate lua orice valoare pozitiva, nu numai valoare intreaga )Virgil Nicula wrote:Bine-ai venit RES (<== click) pe http://www.mateforum.ro ! Urmeaza sa inveti LaTeX ...
[....]RES wrote:Sa se arate ca \( \overline{\underline{\left\|\ \left(\frac {na+b}{n+1}\right)^{n+1}\ \ge a^n\cdot b\ \right\|}} \) , unde \( a>0 \) , \( b>0 \) si \( n\in\mathbb N^* \) .
multumesc pentru urari d-le Nicula si pentru recomandarile facute
Unde pot gasi totusi acel la TeX ca sa pot scrie si eu expresiile matematice mai fain? 
Sunt convins ca o astfel de inegalitate poate fi demonstrata matematic, pentru ca ea rezulta dint-un principiu de baza al Naturii, cum de fapt cred ca si celelalte inegalitati (fie ele si sociale
) au la baza tot legi ale Naturii Nu stiam ca inegalitatea pe care am scris-o deriva din altele care poarta nume celebre
Last edited by res on Fri Feb 05, 2010 10:15 am, edited 1 time in total.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Ai dreptate ! M-a furat "peisajul" (in notatii standard litera \( n \) reprezinta un numar natural) .
Daca \( n\ >\ 0 \) , atunci vom folosi analiza matematica (derivate). Trebuie aratat ca \( x>0\ ,\ n>0\ \Longrightarrow\ \left(\frac {x+n}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) .
Inegalitatea (prin logaritmare) devine \( f(x)\equiv (n+1)\cdot\ln\frac {x+n}{n+1}-\ln x\ge 0 \) . Deoarece \( f(1)=0 \) , \( f^{\prim}(x)=\frac {n+1}{x+n}-\frac 1x \)
si \( (x-1)\cdot f^{\prim}(x)\ge 0\ ( \) din studiul monotoniei functiei \( f \) \( )\ \Longrightarrow\ f(x)\ge f(1)=0 \) , adica \( \left(\frac {x+n}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) .
Mentionez ca remarcabila modelarea printr-o inegalitate matematica a unui proces fizic.
Daca \( n\ >\ 0 \) , atunci vom folosi analiza matematica (derivate). Trebuie aratat ca \( x>0\ ,\ n>0\ \Longrightarrow\ \left(\frac {x+n}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) .
Inegalitatea (prin logaritmare) devine \( f(x)\equiv (n+1)\cdot\ln\frac {x+n}{n+1}-\ln x\ge 0 \) . Deoarece \( f(1)=0 \) , \( f^{\prim}(x)=\frac {n+1}{x+n}-\frac 1x \)
si \( (x-1)\cdot f^{\prim}(x)\ge 0\ ( \) din studiul monotoniei functiei \( f \) \( )\ \Longrightarrow\ f(x)\ge f(1)=0 \) , adica \( \left(\frac {x+n}{n+1}\right)^{n+1}\ge x \) .
Mentionez ca remarcabila modelarea printr-o inegalitate matematica a unui proces fizic.