Limita de functie fara l'Hospital.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Limita de functie fara l'Hospital.
Sa se calculeze \( \lim_{x \to 1}\ \left(\frac{m}{1 - x^m } - \frac{n}{1 - x^n }\right) \) fara a folosi regulile lui l'Hospital, unde \( \{m,n\}\subset \mathrm N* \) si \( m\ne n \).
Aplicam de 2 ori Horner dupa ce aducem la numitor comun si consideram \( m>n \):
\( \frac{nx^m-mx^n+m-n}{(1-x)^2(1+x+x^2+\dots+x^{m-1})(1+x+\dots+x^{n-1})}= \)
\( \frac{nx^{m-2}+2nx^{m-3}+\dots+(m-n)nx^{m-(m-n)-1}+(m-n)(n-1)x^{n-2}+\dots(m-n)}{(1+x+x^2+\dots+x^{m-1})(1+x+\dots+x^{n-1})}\to
\frac{m-n}{2} \) cand \( x\to1 \).
\( \frac{nx^m-mx^n+m-n}{(1-x)^2(1+x+x^2+\dots+x^{m-1})(1+x+\dots+x^{n-1})}= \)
\( \frac{nx^{m-2}+2nx^{m-3}+\dots+(m-n)nx^{m-(m-n)-1}+(m-n)(n-1)x^{n-2}+\dots(m-n)}{(1+x+x^2+\dots+x^{m-1})(1+x+\dots+x^{n-1})}\to
\frac{m-n}{2} \) cand \( x\to1 \).
Last edited by mihai++ on Wed Dec 23, 2009 8:20 pm, edited 1 time in total.
n-ar fi rau sa fie bine 
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Multumesc. Frumos, mai ales ca ai dus rezolvarea corect si pana la capat. Asta doream sa dovedim:
- aplicarea schemei lui Horner (care deseori este minimalizata si neglijata !) daca \( \{m,n\}\subset \mathbb{N}^* \);
- daca \( m \) si \( n \) ar fi fost numere reale, atunci era inevitabila aplicarea regulilor lui l'Hospital.
Nu mai spun ca redactarea este impecabila: in general vorbind nu exista
problema/treaba/sarcina grea sau usoara, ci bine facuta sau prost facuta.
- aplicarea schemei lui Horner (care deseori este minimalizata si neglijata !) daca \( \{m,n\}\subset \mathbb{N}^* \);
- daca \( m \) si \( n \) ar fi fost numere reale, atunci era inevitabila aplicarea regulilor lui l'Hospital.
Nu mai spun ca redactarea este impecabila: in general vorbind nu exista
problema/treaba/sarcina grea sau usoara, ci bine facuta sau prost facuta.