Puncte coplanare.

[Marius Mainea]

Fie piramida patrulatera regulata VABCD si punctele E,F,G,H pe muchiile(VA) ,(VB) ,(VC) respectiv (VD) astfel incat \( EF\cap AC=\{P\} \) si \( GH\cap BD=\{R\} \).
Paralela prin E la AC intersecteaza VC in punctul \( E_1 \) si paralela prin H la BD intersecteaza VB in \( H_1 \). Paralela prin G la AB intersecteaza VA in \( G_1 \) si paralela prin F la CD intersecteaza VD in \( F_1 \).
Notam cu O punctul de intersectie intre AC si BD.
Demonstrati ca daca \( HF_1=EG_1 \) si \( \frac{FE_1}{PO}=\frac{GH_1}{RO} \), atunci punctele E,G,F, si H sunt coplanare.

[Marius Mainea]

Notam \( VE=a,VG=b,VF=c,VH=d,VA=l,OA=x \)

1) a+c=b+d; (din prima conditie)

2) Din teorema Menelaos \( \frac{AP}{PC}\cdot\frac{l-c}{c}\cdot\frac{a}{l-a}=1 \) si de aici \( PO=\frac{x[l(a+c)-2ac]}{l(c-a)} \)

si analog \( RO=\frac{x[l(b+d)-2bd]}{l(d-b)} \)

Din conditia a doua rezulta \( ac=bd \)

3)Aplicand teorema lui Menelos \( \frac{PO}{PC}\cdot\frac{l-c}{c}\cdot\frac{VM}{MO}=1 \) unde M este punctul in care EF taie VO.

Obtinem \( \frac{MO}{VM}=\frac{l(a+c)-2ac}{2ac} \)

4) Aplicand teorema lui Menelos \( \frac{RO}{RC}\cdot\frac{l-d}{d}\cdot\frac{VN}{NO}=1 \) unde N este punctul in care GH taie VO.

Obtinem \( \frac{NO}{VN}=\frac{l(b+d)-2bd}{2bd} \)

5) din 3)& 4) obtinem concluzia.