Concursul "Nicolae Coculescu" 2009, problema 3

[Laurentiu Tucaa]

Fie \( (G,\ \cdot) \) un grup cu \( 2p^2 \) elemente, p prim. Se considera \( H_1,H_2 \) subgrupuri cu proprietatile:
a) \( H_1\cap H_2=\{e\} \);
b) pentru orice submultime \( S\subset G \) cu \( |S|=p \), avem \( |S\cap(H_1\cup H_2)|\ge2 \).
Sa se arate ca unul dintre cele doua subgrupuri este G.

Dana Heuberger

[Beniamin Bogosel]

Avem unele lucruri simple pe care le putem deduce:

\( |H_i| \in \{1,2,p,p^2,2p,2p^2\} \) din teorema lui Lagrange.
\( |H_1 \cup H_2|=|H_1|+|H_2|-1 \)
\( |H_1 \cup H_2| \geq 2p^2-p+2 \).

Daca \( |H_1 \cup H_2| \leq 2p^2-(p-1) \) inseamna ca exista o submultime \( X \subset (G\setminus (H_1\cup H_2)) \) cu \( |X|=p-1 \). Atunci daca ii mai adaugam un element acestei multimi, obtinem \( S=X\cup \{x_0\},\ |S|=p \) si multimea asta are \( p \) elemente si nu are cum sa aiba 2 elemente in comun cu \( H_1 \cup H_2 \), ceea ce contrazice ipoteza.
De aici, daca niciunul dintre \( H_1,H_2 \) nu este egal cu \( G \), rezulta ca \( |H_1|=|H_2|=p^2. \)
Daca \( |H_1|=|H_2|=p^2 \) rezulta ca exista exact un element \( a \in G\setminus (H_1 \cup H_2) \). Acum, daca luam \( x \in H_1, y \in H_2, x,y \neq e \), atunci \( xy=a \). Asta nu e posibil decat daca \( p^2=2 \). Deci unul dintre subgrupuri trebuie sa fie \( G \).

[Laurentiu Tucaa]

Am gasit o solutie putin altfel decat in barem, dar bazandu-se tot pe Teorema lui Cauchy.

Fie \( x\in G,\ ord(x)=p \), p prim. Din b) avem ca \( \|<x>\cap (H_1\cup H_2)\|\ge2 \), deci exista \( i\in\{1,2,...,p-1\} \) a.i. \( x^i\in H_1 \) (fac aceasta alegere). Cum \( (i,p)=1,\forall i\in\{1,2,...,p-1\} \), rezulta\( <x^i>=<x> \), deci \( <x>\subset H_1 \).
Fie acum \( y\in H_2 \). Presupun prin absurd ca \( y\not=e \) si iau \( S=y<x> \), care are exact p elemente. Din b) \( \exist j\in\{1,2,...,p-1\} \) a.i. \( yx^j\in H_1 \) sau \( yx^j\in H_2 \). Se observa ca ambele situatii duc la contradictie cu a), deci \( H_2=\{e\} \).
Acum daca presupun prin absurd ca \( H_1\not=G \), din Lagrange avem \( ord(H_1)\le p^2 \), adica \( G-H_1 \) contine cel putin \( p^2\ge p \) elemente. Alegand o submultime a lui \( G-H_1 \) cu exact p elemente, aceasta incalca conditia a), contradictie. Deci \( H_1=G \).