Fie \( a\in{(0,1)} \) , \( b\in{R} \) si functia \( f:R \longrightarrow R \) cu proprietatile :
1) \( f \) este \( a \)-contractie;
2) \( f(f(x)-x)=b(f(x)-x) \) , \( \forall x\in{R} \).
Aratati ca \( f(x)=bx \) \( \forall x\in{R} \).
M. Opincariu, G.M.B. 2008
Ecuatie functionala
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
opincariumihai
- Thales
- Posts: 134
- Joined: Sat May 09, 2009 7:45 pm
- Location: BRAD
Ecuatie functionala
Last edited by opincariumihai on Sat Aug 08, 2009 10:54 am, edited 1 time in total.
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Se folosesc :
1) Principiul Contractiilor: Daca \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) este o contractie, adica exista \( a\in (0,1) \) astfel incat \( |f(x)-f(y)|\le a|x-y| \) pentru orice x si y, atunci exista si este unic un punct fix pentru f.
2) Propozitia: Daca \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) este o contractie, adica exista \( a\in (0,1) \) astfel incat \( |f(x)-f(y)|\le a|x-y| \) pentru orice x si y, atunci functia \( g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=f(x)-x \) este surjectiva.
1) Principiul Contractiilor: Daca \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) este o contractie, adica exista \( a\in (0,1) \) astfel incat \( |f(x)-f(y)|\le a|x-y| \) pentru orice x si y, atunci exista si este unic un punct fix pentru f.
2) Propozitia: Daca \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) este o contractie, adica exista \( a\in (0,1) \) astfel incat \( |f(x)-f(y)|\le a|x-y| \) pentru orice x si y, atunci functia \( g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=f(x)-x \) este surjectiva.