Mediana si simediana sunt trisectoare

[Theodor Munteanu]

Fie ABC un triunghi in care \( BC = \sqrt 5, CA = 1, AB = \sqrt 2 \). Sa se arate ca mediana \( AD \) si simediana \( AE \), \( D, E \in [BC] \), sunt trisectoarele unghiului BAC.

G. Szolloszy

[Marius Mainea]

1) Aplicand teorema cosinusului in ABC obtinem \( \angle{BAC}=135^{\circ} \).

2) Aplicand teorema medianei obtinem\( AD=\frac{1}{2} \).

3) Aplicand teorema cosinusului in BAD obtinem \( \angle{BAD}=45^{\circ} \).

[Theodor Munteanu]

AE e simediana din A, deci AD, AE izogonale \( \Rightarrow \prec BAD \equiv \prec CAE \) si din teorema lui Steiner \( \frac{{{\rm BE}}}{{{\rm EC}}} = \frac{{AB^2 }}{{AC^2 }} \Rightarrow BE = \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow DE = \frac{{\sqrt 5 }}{6} \).
Din Stewart avem ca \( s_a = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \) si din reciproca teoremei bisectoarei \( \frac{{{\rm BD}}}{{{\rm DE}}} = \frac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow AD \) e bisectoarea \( \prec BAE \).

[Virgil Nicula]

Fie $ABC$ un triunghi in care \( BC = \sqrt 5 \) , \( CA = 1 \) , \( AB = \sqrt 2 \) . Sa se arate ca mediana \( AD \)

si simediana \( AE \), unde \( D, E \in [BC] \), sunt trisectoarele unghiului \( \angle BAC \) (G. Szolloszy).

Extindere. Fie triunghiul \( ABC \) in care notam lungimea \( m_a \) a medianei din varful \( A \) . Sa se arate ca

mediana si simediana din varful \( A \) trisecteaza unghiul \( \widehat {BAC} \) daca si numai daca \( \underline{\overline{\left\|\ {\ m_a=\frac {\left|b^2-c^2\right|}{2\cdot\min\ \{b,c\}}\ \right\| \) .

Demonstratie. Notam mediana \( [AM] \) si simediana \( [AS] \) din varful \( A \) , unde \( \{M,N\}\subset (BC) \) . Presupunem fara a restrange generalitatea ca \( c<b \) . Se arata usor ca \( BS=\frac {ac^2}{b^2+c^2} \) si \( SM=\frac {a\left(b^2-c^2\right)}{2\left(b^2+c^2\right)} \) . Asadar \( [AS \) este bisectoarea unghiului \( \widehat{BAM} \) daca si numai daca \( \frac {AB}{AM}=\frac {BS}{SM} \) \( \Longleftrightarrow \) \( \frac {c}{m_a}=\frac {ac^2}{b^2+c^2}\cdot\frac {2\left(b^2+c^2\right)}{a\left(b^2-c^2\right)} \) \( \Longleftrightarrow \) \( m_a=\frac {\left|b^2-c^2\right|}{2\cdot\min\ \{b,c\}} \) .

Observatie. Notam proiectia \( D \) a lui \( A \) pe \( BC \) . Se arata usor ca \( m_a=\frac {\left|b^2-c^2\right|}{2\cdot\min\ \{b,c\}}\Longleftrightarrow \sin \widehat{MAD}=\frac {\min\{b,c\}}{a}\ \Longleftrightarrow\ 4b^2c^2+c^4=b^4+a^2c^2 \) .