Echivalenta a doua relatii matriceale

opincariumihai · Post by **opincariumihai** » Wed Jun 24, 2009 11:37 am

Daca \( A,B\in M_2(\mathbb{C}) \) demonstrati echivalenta propozitiilor :
\( p_1 \) : \( (AB)^2=AB^2A+I_2 \) ; \( p_2 \) : \( (BA)^2=BA^2B+I_2 \).

Mihai Opincariu

Marius Mainea · Post by **Marius Mainea** » Wed Jun 24, 2009 5:34 pm

Se arata ca fiecare din cele doua propozitii este echivalenta cu \( p_3:\ AB=-BA \)

\( p_1 \) este echivalenta cu \( AB(AB-BA)=I_2 \) sau \( AB(AB-BA)^2=AB-BA \) sau \( \lambda AB=AB-BA \) si de aici \( AB=t\cdot BA , t\neq 1 \) si de aici trecand la determinanti obtinem \( t=-1 \)

Analog \( p_2 \) este echivalenta cu \( p_3 \)

Theodor Munteanu · Post by **Theodor Munteanu** » Wed Jun 24, 2009 8:19 pm

Se foloseste relatia Hamilton-Cayley pentru AB si BA si faptul ca pentru matrici de ordin 2 avem Tr(AB)=Tr(BA).

opincariumihai · Post by **opincariumihai** » Thu Jun 25, 2009 1:08 pm

Theodor Munteanu wrote:Se foloseste relatia Hamilton-Cayley pentru AB si BA si faptul ca pentru matrici de ordin 2 avem Tr(AB)=Tr(BA).

..si cum rezulta echivalenta?