Corp finit de caracteristica 3

[bae]

Daca \( K \) este un corp finit de caracteristica 3, sa se arate ca exista \( x, y\in K \) astfel incat \( x^2+y^2\neq a^2 \) pentru orice \( a\in K. \)

[Beniamin Bogosel]

Notam \( |K|=q \). \( K \) este corp finit, deci comutativ. Fie \( A=\{x^2 :\ x \in K\} \). \( K \) are caracteristica 3, deci \( |K| \) este impar. Putem partitiona \( K \) astfel
\( K=\{0\}\cup\bigcup_{x \in K} \{x,-x\} \),
unde elementele din aceeasi clasa au patratele egale, iar elementele din clase diferite au patratele diferite. Astfel \( A \) are atatea elemente cate clase are partitia, adica \( \frac{q+1}{2} \).

Acum presupunem ca suma oricaror doua patrate este un patrat. Atunci \( -1=1+1=a^2 \) este un patrat in \( K \). Fie acum \( x,y \in A \). Atunci exista \( u,v\in K \) cu \( x=u^2,y=v^2 \). Atunci \( x-y=u^2-v^2=u^2+(av)^2 \in A \).
Evident \( xy=(uv)^2\in A \). Deci \( A \) este subcorp al lui \( K \).
Atunci \( (A,+) \) este subgrup al lui \( (K,+) \), deci din teorema lui Lagrange \( |A|\ |\ |K| \Rightarrow \frac{q+1}{2}\ |\ q \), de unde \( q=1 \). Contradictie!

Deci presupunerea facuta este falsa si exista doua patrate nenule a caror suma nu e un patrat.

[Radu Titiu]

Presupunem ca suma a oricaror doua patrate e tot un patrat. Deoarece orice element din K este suma a doua patrate, rezulta ca functia \( f:K \to K \), \( f(x)=x^2 \) e surjectiva.
CUm K e finit, rezulta ca f e injectiva. Deci din egalitatea \( (-1)^2=1^2 \) rezulta \( -1=1 \), contradictie cu \( char K =3 \).