O.VI.29

[Andi Brojbeanu]

Se considera triunghiul isoscel \( ABC(AC=AB) \) si punctele \( E, F \in BC \) astfel incat \( B\in [FC], C \in [BE] \) si \( FB=CE=AB \). Fie \( O \) punctul de intersectie a bisectoarelor unghiurilor \( ABF \) si \( ACE \). Sa se arate ca:
a) \( OF=OA=OE \);
b) \( A, O \) si mijlocul lui \( BC \) sunt coliniare.

Probleme date la olimpiade, RMT 1/1998

[Mateescu Constantin]

a) \( m(\angle FBO)=180^{\circ}-\frac{m(\angle FBA)}{2} \)

\( m(\angle ABO)=m(\angle CBO)+m(\angle ABC)=\frac{m(\angle ABF)}{2}+180^{\circ}-m(\angle ABF)=180^{\circ}-\frac{m(\angle FBA)}{2} \)

\( \Longrightarrow \angle FBO\equiv\angle ABO\ (1) \)
Deoarece \( AB=BF \), \( [OB] \) latura comuna a \( \triangle FBO \) si \( \triangle ABO \) si cu \( (1) \)

\( \Longrightarrow \triangle FBO\equiv\triangle ABO \Longrightarrow OA=OF \)

Analog se arata ca \( OA=OE \Longrightarrow OA=OE=OF \)

b) Fie \( M \) mijlocul \( [BC] \). Atunci \( AM \) este mediatoarea segmentului \( [BC]\ (2) \)

\( FM=FB+BM,\ EM=CE+MC \), \( FB=CE \) si \( BM=CE \)
\( \Longrightarrow FM=EM \), deci \( M \) este mijlocul \( [EF] \)

\( \triangle OEF \) este isoscel, deci \( M \) se afla pe mediatoarea \( [BC]\ (3) \)
Din \( (2) \) si \( (3) \) \( \Longrightarrow \) \( A \), \( M \) si \( O \) sunt coliniare.