Sa se afle numarul natural \( n \) cel mai apropiat de 1997 pentru care \( 3+3^2+....+3^n \) se divide cu 13.
Probleme date la olimpiade, RMT 1/1998
Divizibilitate cu 13
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
\( S=3+3^2+...+3^n \)
\( 3S=3^2+3^3+...+3^n+1 \)
\( 2S=3^n+1-3 \)
\( S=\frac{3(3^n-1)}{2} \)
\( 3(3^n-1)=26k \)
\( pt.n=1998,3^1^9^9^8-1=26k
\)
\( (3^3)^6^6^6-1=26k \)
\( 27^6^6^6-1=26k \)
\( (26+1)^6^6^6-1=26k \)
\( M_2_6+1-1=26k \)
\( M_2_6=26k \)ADEVARAT
observem ca pt.n divizibil cu 27, avem \( M_2_6+1-1+26k\Longrightarrow \)n trebuie sa fie divizibil cu 27,deci puterea lui divizibila cu 3.Cel mai apropiat numar de 1997 care respecta cerinta este 1998.
\( 3S=3^2+3^3+...+3^n+1 \)
\( 2S=3^n+1-3 \)
\( S=\frac{3(3^n-1)}{2} \)
\( 3(3^n-1)=26k \)
\( pt.n=1998,3^1^9^9^8-1=26k
\)
\( (3^3)^6^6^6-1=26k \)
\( 27^6^6^6-1=26k \)
\( (26+1)^6^6^6-1=26k \)
\( M_2_6+1-1=26k \)
\( M_2_6=26k \)ADEVARAT
observem ca pt.n divizibil cu 27, avem \( M_2_6+1-1+26k\Longrightarrow \)n trebuie sa fie divizibil cu 27,deci puterea lui divizibila cu 3.Cel mai apropiat numar de 1997 care respecta cerinta este 1998.