Traian Lalescu 2009, problema 4

[Laurian Filip]

Fie \( f:[0,\infty) \to [0,\infty) \), cu proprietatea:
\( |f(x+y)-f(x)| \leq \ln\left( \frac{1+x+y}{1+x}\right),\forall x,y \in [0,\infty) \).

a) Determinati \( m\in \mathbb{N}^* \) astfel incat multimea valorilor lui \( f \) sa aiba exact \( m \) elemente.
b) Sa se arate ca urmatorul sir recurent:

\( x_{n+1}=\frac{x_n+f(x_n)}{2} \), \( n\geq 0 \),

are limita pentru orice \( x_0 \geq 0 \).

V. Radu

[Beniamin Bogosel]

a)\( |f(x)-f(y)|\leq |x-y| \).