Inel cu 3n elemente

[Ntz_Bogdan]

Fie n mai mare sau egal decat 3 un nr. impar si A inel comutativ cu 3n elemente. Aratati ca numarul elementelor nilpotente ale lui A este cel mult n.

[Beniamin Bogosel]

Daca notam cu \( Z=\{a \in A:\ a\ \mbox{nilpotent} \} \) atunci, deoarece inelul este comutativ, \( (Z,+) \) este un subgrup al lui \( (A,+) \). Deoarece 1 nu este nilpotent, rezulta ca \( A\neq Z \). Deci \( |Z| \) este cel mult cel mai mare divizor propriu al lui \( A \), adica \( |Z|\leq n \).