Asupra unei probleme propuse de B. Bogosel

[Victor Vuletescu]

Am avut de curand o discutie cu Beni asupra unei probleme propuse de el la Olimpiada. Mi-a placut mult acea problema si cred ca merita sa fie discutata si la 'alt nivel" decat cel al clasei a XI-a, de aceea o ajustez oleaca sa o transform intr-una ce merita - zic eu - sa fie postata aici. Asadar:

a) fie G un grup finit; aratati ca daca G actioneaza fara puncte fixe pe dreapta reala, atunci G este trivial.

b) un pic mai general, aratati ca daca \( f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R} \) este o fibrare Serre cu fibra finita, atunci fibra lui f se rezuma la un singur punct.

c) (aceasta e o parte din enuntul lui Benny, usor modificata) Dati exemplu de aplicatie continua \( f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R} \) care are fibra finita de un cardinal impar, strict mai mare decat 1, fixat. Pentru exemplul dat, justificati (utilizand doar definitia fibrarii Serre) de ce aplicatia construita nu este fibrare Serre.