Radical din operatori pozitivi

[Liviu Paunescu]

Fie\( H \) un spatiu Hilbert si \( T:H\to H \) un operator liniar autoadjunct si cu spectrul (\( \sigma(T) \)=\( \{\lambda:T-\lambda I\mbox{neinversabil}\} \)) pozitiv (asa ceva se numeste operator pozitiv). Aratati ca exista un operator \( S\in B(H) \) cu \( S^2=T \).

[Alin Galatan]

Eu privesc momentan problema din prisma spatiilor vectoriale finite(abia trec anul 2), unde T poate fi privita ca o matrice simetrica. Acolo, se poate arata usurel printr-o inductie ca toate valorile proprii sunt reale.
Aici insa, unde presupun ca nu e neapart sa fie finit dimensional, mai este valabil faptul ca toate valorile proprii sunt reale? Daca da, ai putea schita o demonstratie ?

[Alin Galatan]

Din nou, rationand ca la spatii finite (nu sunt sigur ca ceea ce zic e bine), exista un operator inversabil U si unul D (echivalent cu cel diagonal din algebra liniara) astfel incat \( T=UDU^{-1} \) (deoarece T e autoadjunct).
Alegem un operator R care sa aiba valorile proprii radical din cele ale lui D (se poate, fiind pozitive) si sa fie tot "diagonal", si alegem \( S=URU^{-1} \).

Presupun ca asta e ideea, insa .. nu am nici cea mai vaga idee cum sa demonstrez existenta lui U, D, si nici nu stiu sa caracterizez prea bine pe D. Sunt destul de curios.
Probabil as putea zice ca pentru orice v, element al bazei, exista o valoare \( \lambda \) astfel ca \( D(v)=\lambda v \) (si toate acele \( \lambda \) sunt din spectrul lui T).
Iar pe R il construiesc astfel ca pentru acelasi v ca mai sus, \( R(v)=\sqrt{\lambda}v \).

[Liviu Paunescu]

E adevarat in general pentru spatii infinit dimensionale ca un operator autoadjunct are spectrul real. Ipoteza aici este ca e real pozitiv. Cand lucrezi insa pe spatii infinit dimensionale valorile proprii nu mai au acelasi rol. Pot sa nici nu existe. Daca un operator este neinversabil nu inseamna ca are Ker (shiftul unilateral cel mai clar exemplu). Doar pentru operatori compacti mai exista o teorie asemanatoare celei din finit dimensional. Deci nu poti sa il scrii ca ceva diagonalizabil printr-o schimbare de baza.

[Consonant]

Ai uitat cumva sa ceri ca si \( S \) sa fie pozitiv? In acest caz, \( S \) este unic. Oricum, daca stii calcul functional cu functii continue pentru operatori normali, solutia este floare la ureche. Altfel, solutia este mai complicata, cu un argument de aproximare.

[Liviu Paunescu]

Nu, nu am vrut sa cer unicitate. Problema asta s-a dorit a fi o "invitatie" la calculul functional, un instrument pe cat de usor ca idee, pe atat de greu de stapanit dar foarte util in multe situatii diferite.

[Consonant]

Pai, atunci nu este nevoie decat de calcul functional cu functii olomorfe: luam \( f \) ramura continua principala a functiei radical si definim \( S=f(T) \) prin calcul functional olomorf (Riesz-Dunford). Asta arata ca nu este nevoie ca spatiul sa fie Hilbert, este suficient sa fie spatiu Banach, iar conditia ta de pozitivitate poate fi inlocuita cu o conditie foarte slaba, si aceea ca spectrul operatorului \( T \) sa nu atinga o semidreapta, in planul complex, cu originea in 0 (ca sa poti avea o ramura continua a functiei radical definita pe o vecinatate a spectrului operatorului \( T \)). Si mai general, rezultatul poate fi extins in cazul algebrelor Banach cu unitate.

Totusi, insist, in cazul enuntului tau, este important ca operatorul \( S \) sa fie pozitiv, fiindca asta face rezultatul cu mult mai puternic.

Altfel, sunt intrutotul de acord cu tine: calcule functionale (olomorf, continuu, borelian, etc.) sunt de multe ori foarte utile. Formele moderne sunt insa pe algebre (Banach, C*-algebre, algebre von Neumann, etc.)