Prisma regulata
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Prisma regulata
Prisma \( [A_1A_2A_3....A_nA^{\prime}_1A^{\prime}_2A^{\prime}_3....A^{\prime}_n] , n\in \mathbb{N} , n\ge 3 \) are ca baza un poligon convex. Stiind ca \( A_1A^{\prime}_2\perp A_2A^{\prime}_3, A_2A^{\prime}_3\perp A_3A^{\prime}_4,...., A_{n-1}A^{\prime}_n\perp A_nA^{\prime}_1,A_nA^{\prime}_1\perp A_1A^{\prime}_2 \) sa se arate ca n=3 si ca prisma este regulata.
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
Cred ca in enuntul original prisma \( [A_1A_2A_3....A_nA_1^{\prime}A_2^{\prime}A_3^{\prime}.....A_n^{\prime}] \) este dreapta.
Fie \( B_3 \) simetricul lui \( A_3 \) fata de \( A_2 \).
Atunci, cum \( A_2B_3=A_2A_3=A_2^{\prime}A_3^{\prime} \) si \( A_2B_3\parallel A_2^{\prime}A_3^{\prime} \), rezulta ca \( A_2B_3A_2^{\prime}A_3^{\prime} \) este paralelogram, deci \( A_2A_3^{\prime}\parallel B_3A_2^{\prime} \).
Din \( A_2A_3^{\prime}\parallel B_3A_2^{\prime} \) si \( A_1A_2^{\prime}\perp A_2A_3^{\prime}\Rightarrow A_1A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_3 \)
Avem \( A_1B_3^2=A_1A_2^{\prime}^2+B_3A_2^{\prime}^2=(A_1A_2^2+A_2A_2^{\prime}^2)+(A_2B_3^2+A_2A_2^{\prime}^2)>A_1A_2^2+A_2B_2^2 \).
Din teorema cosinusului in \( \bigtriangleup{A_1A_2B_3} \), obtinem:
\( cos(\angle{A_1A_2B_3})=\frac{A_1A_2^2+A_2^2B_3^2-A_1B_3^2}{2A_1A_2\cdot A_2B_3}<0\Rightarrow m(\angle{A_1A_2B_3})>90\textdegree \Rightarrow m(\angle{A_1A_2A_3})<90 \textdegree \).
Analog se demonstreaza ca toate unghiurile patrulaterului \( A_1A_2A_3.....A_n \) sunt ascutite.
Deci suma masurilor unghiurilor patrulaterului este mai mica decat \( 90n\Rightarrow (n-2)\cdot 180<90n\Rightarrow 2n-4<n\Rightarrow n<4\Rightarrow n=3 \).
Fie \( B_2 \) mijlocul lui \( [A_2A_3] \) si \( B_1 \) simetricul lui \( A_1 \) fata de \( B_2 \).
Atunci patrulaterul \( A_1A_2B_1A_3 \) este paralelogram (diagonalele se injumatatesc). Rezulta ca \( A_1A_3\parallel A_2B_1 \).
Din \( A_1A_3\parallel A_2B_1 \) si \( A_1A_1^{\prime}\parallel A_2A_2^{\prime}\Rightarrow A_2^{\prime}B_1\parallel A_1^{\prime}A_3 \).
Din \( A_2^{\prime}B_1\parallel A_1^{\prime}A_3 \) si \( A_1A_2^{\prime}\perp A_1^{\prime}A_3\Rightarrow A_1A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_1 \). De asemenea, \( A_1A_2^{\prime}\perp B_3A_2^{\prime} \).
Din \( A_2^{\prime}B_3\parallel A_2A_3^{\prime}, A_2^{\prime}B_1\parallel A_1^{\prime}A_3 \) si \( A_3A_1^{\prime}\perp A_2A_3^{\prime}\Rightarrow B_3A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_1 \).
Atunci \( A_2^{\prime}B_1B_3A_1 \) este tetraedru trideptunghic (\( A_1A_2^{\prime}\perp B_3A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_1\perp A_1A_2^{\prime} \)), deci proiectia lui \( A_2^{\prime} \) pe planul \( (A_1B_1B_3) \), \( A_2 \), este ortocentrul \( \bigtriangleup{A_1B_1B_3}\Rightarrow B_3A_2\perp A_1B_1 \) sau \( A_1B_1\perp A_2A_3 \).
Cum \( A_1A_2B_1A_3 \) este paralelogram cu diagonalele perpendiculare, acesta este romb, deci \( A_1A_2=A_1A_3 \).
Analog se demonstreaza ca \( A_1A_2=A_2A_3 \), deci \( \bigtriangleup{A_1A_2A_3} \) este echilateral, deci prisma \( A_1A_2A_3A_1^{\prime}A_2^{\prime}A_3^{\prime} \) este regulata.
Fie \( B_3 \) simetricul lui \( A_3 \) fata de \( A_2 \).
Atunci, cum \( A_2B_3=A_2A_3=A_2^{\prime}A_3^{\prime} \) si \( A_2B_3\parallel A_2^{\prime}A_3^{\prime} \), rezulta ca \( A_2B_3A_2^{\prime}A_3^{\prime} \) este paralelogram, deci \( A_2A_3^{\prime}\parallel B_3A_2^{\prime} \).
Din \( A_2A_3^{\prime}\parallel B_3A_2^{\prime} \) si \( A_1A_2^{\prime}\perp A_2A_3^{\prime}\Rightarrow A_1A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_3 \)
Avem \( A_1B_3^2=A_1A_2^{\prime}^2+B_3A_2^{\prime}^2=(A_1A_2^2+A_2A_2^{\prime}^2)+(A_2B_3^2+A_2A_2^{\prime}^2)>A_1A_2^2+A_2B_2^2 \).
Din teorema cosinusului in \( \bigtriangleup{A_1A_2B_3} \), obtinem:
\( cos(\angle{A_1A_2B_3})=\frac{A_1A_2^2+A_2^2B_3^2-A_1B_3^2}{2A_1A_2\cdot A_2B_3}<0\Rightarrow m(\angle{A_1A_2B_3})>90\textdegree \Rightarrow m(\angle{A_1A_2A_3})<90 \textdegree \).
Analog se demonstreaza ca toate unghiurile patrulaterului \( A_1A_2A_3.....A_n \) sunt ascutite.
Deci suma masurilor unghiurilor patrulaterului este mai mica decat \( 90n\Rightarrow (n-2)\cdot 180<90n\Rightarrow 2n-4<n\Rightarrow n<4\Rightarrow n=3 \).
Fie \( B_2 \) mijlocul lui \( [A_2A_3] \) si \( B_1 \) simetricul lui \( A_1 \) fata de \( B_2 \).
Atunci patrulaterul \( A_1A_2B_1A_3 \) este paralelogram (diagonalele se injumatatesc). Rezulta ca \( A_1A_3\parallel A_2B_1 \).
Din \( A_1A_3\parallel A_2B_1 \) si \( A_1A_1^{\prime}\parallel A_2A_2^{\prime}\Rightarrow A_2^{\prime}B_1\parallel A_1^{\prime}A_3 \).
Din \( A_2^{\prime}B_1\parallel A_1^{\prime}A_3 \) si \( A_1A_2^{\prime}\perp A_1^{\prime}A_3\Rightarrow A_1A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_1 \). De asemenea, \( A_1A_2^{\prime}\perp B_3A_2^{\prime} \).
Din \( A_2^{\prime}B_3\parallel A_2A_3^{\prime}, A_2^{\prime}B_1\parallel A_1^{\prime}A_3 \) si \( A_3A_1^{\prime}\perp A_2A_3^{\prime}\Rightarrow B_3A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_1 \).
Atunci \( A_2^{\prime}B_1B_3A_1 \) este tetraedru trideptunghic (\( A_1A_2^{\prime}\perp B_3A_2^{\prime}\perp A_2^{\prime}B_1\perp A_1A_2^{\prime} \)), deci proiectia lui \( A_2^{\prime} \) pe planul \( (A_1B_1B_3) \), \( A_2 \), este ortocentrul \( \bigtriangleup{A_1B_1B_3}\Rightarrow B_3A_2\perp A_1B_1 \) sau \( A_1B_1\perp A_2A_3 \).
Cum \( A_1A_2B_1A_3 \) este paralelogram cu diagonalele perpendiculare, acesta este romb, deci \( A_1A_2=A_1A_3 \).
Analog se demonstreaza ca \( A_1A_2=A_2A_3 \), deci \( \bigtriangleup{A_1A_2A_3} \) este echilateral, deci prisma \( A_1A_2A_3A_1^{\prime}A_2^{\prime}A_3^{\prime} \) este regulata.