Teorema lui Pompeiu

[AndraS]

Fie ABC un triunghi echilateral si P un punct din plan. Sa se arate ca segmentele [PA], [PB], [PC] pot fi laturile unui triunghi .
Una dintre metodele utilizate in rezolvare este cea cu numere complexe si tocmai pe aceea as dori sa o aflu.

[Marius Mainea]

Fie P(z), A(a), B(b) ,C(c) cele patru puncte cu afixele lor.

Avem relatia : (z-a)(b-c)+(z-b)(c-a) +(z-c)(a-b)=0 (calcul)

Trecand la module |(z-a)(b-c)+(z-b)(c-a)|=|-(z-c)(a-b)| si folosind \( |x+y|\le |x|+|y|

\) obtinem

\( PA\cdot BC+PB\cdot CA\ge PC\cdot AB \) deci \( PA+PB\ge PC \) si analoagele.