Sir recurent ascuns intr-o problema distractiva

[Marcelina Popa]

Uitati-va un pic pe problema aceasta ("Trantorul si dracusorul"). Mai jos va propun o discutie cat se poate de serioasa, legata de ea.

O reproduc de fapt si aici, ca poate v-o fi lene sa dati clic pe link :

Printre noi, oameni cu dragoste de munca, s-a aciuat un trantor care nu voia nici sa invete si nici sa munceasca, dar era lacom de bani. Nu voia nicidecum sa inteleaga ca numai banii castigati prin munca cinstita aduc multumire. Trantorul umbla hai-hui si se vaicarea:

- Vai de zilisioarele mele ! Nimeni nu vrea sa stie de mine. Toti imi spun: "N-avem nevoie de trantori. Nu faci nimic si ne mai tii si de vorba. Du-te la dracu!" As vrea sa-l vad si eu pe dracul ala care o sa-mi spuna cum sa devin bogat.

N-apuca trantorul sa-si termine gandul, ca inaintea lui se si ivi un dracusor.

- Apoi, spuse dracusorul, daca vrei, am sa te ajut. Munca va fi usoara si te vei imbogati. Vezi puntea aceea peste parau ?
- O vad, zise trantorul.
- Atunci n-ai decat sa treci puntea pe malul celalalt si vei avea in buzunar de doua ori mai multi bani decat ai acum. Daca treci puntea inapoi, vei avea iarasi de doua ori mai multi bani decat ai avut. Si asa, de fiecare data cand vei trece puntea, vei avea de doua ori mai multi bani decat ai avut.
- Minunat! - se bucura trantorul.
- Lucrurile se vor petrece cum ti-am spus, adauga dracusorul, dar trebuie sa-mi dai si mie ceva. Pentru ca te-am facut bogat, de fiecare data cand treci puntea ai sa-mi dai 24 de banuti pentru sfatul meu.
- Ma invoiesc. Din moment ce banii mei se vor dubla, de ce sa nu-ti dau de fiecare data cate 24 de banuti? Hai sa incepem!

Trecu trantorul puntea o data si numara banii. Mare minune! Intr-adevar avea de doua ori mai multi bani decat avusese. Dadu dracului 24 de banuti. Trecu puntea a doua oara. Banii s-au dublat iar si trantorul i-a mai dat dracului inca 24 de banuti. Trecu si a treia oara, numai ca avea fix 24 de banuti pe care i-a dat dracului. Dracul izbucni in ras si se facu nevazut.

Cati banuti a avut trantorul la inceput ?

Adaug si eu doua cerintze:

1) Aflati cati banuti ar fi trebuit sa aiba trantorul pentru ca afacerea propusa de dracusor sa fie profitabila pentru el.
2) Formulati problema folosind notiunile de sir monoton si de relatie de recurenta.
Eu am rezolvat punctul 1) cu ajutorul lui 2), de fapt.

P.S. Scuzati dimensiunea si culoarea fonturilor: am vrut sa atrag atentia moderatorilor ca este o problema de liceu

[DrAGos Calinescu]

Fie \( x \) suma de bani pe care trantorul o detinea initial.
Dupa prima trecere are \( 2x-24 \), dupa a IIa \( 4x-72 \) iar dupa a IIIa \( 8x-168 \) suma ce trebuie sa fie egala cu 0.\( \Longrightarrow x=21 \)

\( 2) \)Enuntul ar fi echivalent cu: Suma banilor trantorului este data de relatia de recurenta \( a_n=2a_{n-1}-24 \) unde \( n \) reprezinta numarul de treceri peste punte.
\( a_n-a_{n-1}=a_{n-1}-24. \) Sirul \( a_n \) este crescator daca \( a_0\ge 24 \)

Deci la punctul \( 1) \) daca trantorul ar fi avut 24 de bani, sirul ramane constant, pentru un eventual profit are nevoie de mai mult de 24 de bani.