Determinanti, matrici

[mihai722]

1. Fie o matrice \( A\in \mathcal{M}_{(2,3)}(\mathbb R ) \), \( A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\x & y & z\end{pmatrix}; \) si \( Det \)\( A\cdot A^T = 0 \) Aratati ca \( \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3} \)

2. \( A = \begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix}; \) \( a,b,c\in(\mathbb R); \) \( a^2+b^2+c^2 = 1 \) Aratati ca \( |DetA|\leq 1 \)

Multumesc.

[Marcelina Popa]

Prima problema
Din ipoteza rezulta rapid ca \( (x+2y+3z)^2=14(x^2+y^2+z^2) \). Observam ca \( 14=1^2+2^2+3^2 \).

Din inegalitatea Cauchy-Schwartz rezulta ca
\(
(x+2y+3z)^2\le(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)\ , \)
cu egalitate daca si numai daca numerele x, y si z sunt direct proportionale cu 1, 2 si 3.

Concluzia este acum imediata.

.................................

La a doua problema, cui apartin a, b, c?

[Marius Mainea]

Problema 2)

Determinantul matricei A este \( a^3+b^3+ c^3-3abc \) deci trebuie sa demonstram ca \( |(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)|\le1 \)

Notand \( |a+b+c|=x \) relatia se reduce la \( x\cdot\frac{3-x^2}{2}\le 1 \) sau \( (x-1)^2(x+2)\ge 0 \) care este evident adevarat.

[Marcelina Popa]

A doua problema (daca a, b si c sunt reale)

Notam determinantul cu D. Avem
\( D=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \)
(se aduna toate coloanele si se scoate \( a+b+c \)ca factor in fatza determinantului).
Notam
\( s=a+b+c \)
\( p=ab+ac+bc \)

Tinand cont de ipoteza, obtinem \( s^2=1+2p\ \) , de unde \( p=\frac{s^2-1}{2} \). Rezulta \( D=s(1-p)=\frac{3s-s^3}{2} \). Relatia de demonstrat, \( |D|\le 1 \), se poate scrie

\( -2\le 3s-s^3\le 2 \)

Prima inegalitate devine

(1) \( s^3-3s-2\le 0\ , \)

iar a doua

(2) \( s^3-3s+2\ge 0 \)

(1) este echiv cu \( (s-2)(s-1)^2\le 0\ \), iar (2) cu \( (s+2)(s-1)^2\ge 0 \). Ambele sunt adevarate, fiindca se poate demonstra (de exemplu cu inegalitatea Cauchy-Schwartz aplicata numerelor a, b c si 1, 1, 1), ca \( s^2\le 3 \), de unde rezulta ca \( s\ge -2 \) si \( s\le 2 \).

[Marcelina Popa]

@Marius Mainea

Am scris mesajul in timp ce scriati si dvs . E mai simplu cu \( x=|s| \), intr-adevar.

@Mihai:

Si in rezolvarea d-lui Mainea se foloseste inegalitatea \( s^2\le 3 \), atunci cand expliciteaza \( |3-x^2| \) sub forma \( 3-x^2 \).