Cum ne dam seama daca un numar este patrat perfect sau nu? Daca se termina cu 2,3,7 sau 8 nu este. Dar daca se termina cu 0,4,5,6 sau 9 poate sa fie sau sa nu fie. Exemplu: 35 nu e p. p.
Putem sa il scriem ca ceva la a doua, dar nu merge intotdeauna.
Patrate perfecte
Moderators: Laurian Filip, Marius Dragoi
Patrate perfecte
The important thing is not to stop questioning. Albert Einstein.
-
miruna.lazar
- Bernoulli
- Posts: 224
- Joined: Wed Oct 08, 2008 8:41 pm
- Location: Tulcea
-
miruna.lazar
- Bernoulli
- Posts: 224
- Joined: Wed Oct 08, 2008 8:41 pm
- Location: Tulcea
-
miruna.lazar
- Bernoulli
- Posts: 224
- Joined: Wed Oct 08, 2008 8:41 pm
- Location: Tulcea
-
miruna.lazar
- Bernoulli
- Posts: 224
- Joined: Wed Oct 08, 2008 8:41 pm
- Location: Tulcea
-
Marcelina Popa
- Bernoulli
- Posts: 208
- Joined: Wed Mar 05, 2008 3:25 pm
- Location: Tulcea
- Contact:
O sa va explic eu zilele astea, ca acum am ceva presant de facut.
Naruto, foarte pe scurt, proprietatea ar fi urmatoarea:
Un patrat perfect este intotdeauna de una din formele 9k sau 3k+1, k fiind un numar natural.
Asa se poate arata, de exemplu, ca numarul 99....96 nu este patrat perfect, oricati de 9 ar fi acolo.
Este, insa, genul de proprietate pe care trebuie s-o demonstrezi la un examen, fiindca nu apare in manuale si nici nu-i folosita foarte des. O sa revin asupra subiectului zilele urmatoare.
Naruto, foarte pe scurt, proprietatea ar fi urmatoarea:
Un patrat perfect este intotdeauna de una din formele 9k sau 3k+1, k fiind un numar natural.
Asa se poate arata, de exemplu, ca numarul 99....96 nu este patrat perfect, oricati de 9 ar fi acolo.
Este, insa, genul de proprietate pe care trebuie s-o demonstrezi la un examen, fiindca nu apare in manuale si nici nu-i folosita foarte des. O sa revin asupra subiectului zilele urmatoare.
Last edited by Marcelina Popa on Tue Nov 18, 2008 2:02 am, edited 2 times in total.
-
miruna.lazar
- Bernoulli
- Posts: 224
- Joined: Wed Oct 08, 2008 8:41 pm
- Location: Tulcea
-
Abel Cavasi
- Euclid
- Posts: 14
- Joined: Fri Jul 18, 2008 9:46 am
- Location: România, Satu Mare
.-
Marcelina Popa
- Bernoulli
- Posts: 208
- Joined: Wed Mar 05, 2008 3:25 pm
- Location: Tulcea
- Contact:
Da, corect. Am scris in graba, am facut calculele mintal si ... am gresit 
. Am corectat intre timp.
Deci, inca o data, trebuia asa:
Orice patrat perfect este de una din formele \( 9k \) sau \( 3k+1 \), \( k\in \mathb{N} \).
Explicatia ar fi urmatoarea:
Fie \( n=a^2 \) un patrat perfect, \( a\in \mathb{N} \). Numarul \( a \) este de una din formele \( 3c \), \( 3c+1 \) sau \( 3c+2 \), unde \( c\in \mathb{N} \).
Daca \( a=3c \) => \( n=9c^2 \). Notand \( k=c^2 \), obtinem \( n=9k \).
Daca \( a=3c+1 \) => \( n=(3c+1)^2=(3c+1)(3c+1)=9c^2+3c+3c+1=3c(3c+2)+1 \). Notand \( k=c(3c+2) \), obtinem \( n=3k+1 \).
Daca \( a=3c+2 \) => \( n=(3c+2)^2=(3c+2)(3c+2)=9c^2+6c+6c+4=9c^2+12c+3+1=3(3c^2+4c+1)+1 \). Notand \( k=(3c^2+4c+1) \), obtinem din nou \( n=3k+1 \).
De aici rezulta, intre altele, ca impartind un patrat perfect la 3, nu putem obtine niciodata restul 2.
In ce priveste impartirea la 9, se poate demonstra in mod asemanator ca restul poate fi doar 0, 1, 4 sau 7. Lucrurile astea nu trebuie invatate pe dinafara, pentru ca nu reprezinta niste teoreme. Mai degraba merita retinuta metoda de demonstratie.
Tot un fel de proprietate: Orice patrat perfect este de una din formele \( 4k \) sau \( 4k+1 \), \( k\in \mathb{N} \). Deci daca impartim un patrat perfect la 4, nu putem obtine decat restul 0 sau 1.
. Am corectat intre timp. Deci, inca o data, trebuia asa:
Orice patrat perfect este de una din formele \( 9k \) sau \( 3k+1 \), \( k\in \mathb{N} \).
Explicatia ar fi urmatoarea:
Fie \( n=a^2 \) un patrat perfect, \( a\in \mathb{N} \). Numarul \( a \) este de una din formele \( 3c \), \( 3c+1 \) sau \( 3c+2 \), unde \( c\in \mathb{N} \).
Daca \( a=3c \) => \( n=9c^2 \). Notand \( k=c^2 \), obtinem \( n=9k \).
Daca \( a=3c+1 \) => \( n=(3c+1)^2=(3c+1)(3c+1)=9c^2+3c+3c+1=3c(3c+2)+1 \). Notand \( k=c(3c+2) \), obtinem \( n=3k+1 \).
Daca \( a=3c+2 \) => \( n=(3c+2)^2=(3c+2)(3c+2)=9c^2+6c+6c+4=9c^2+12c+3+1=3(3c^2+4c+1)+1 \). Notand \( k=(3c^2+4c+1) \), obtinem din nou \( n=3k+1 \).
De aici rezulta, intre altele, ca impartind un patrat perfect la 3, nu putem obtine niciodata restul 2.
In ce priveste impartirea la 9, se poate demonstra in mod asemanator ca restul poate fi doar 0, 1, 4 sau 7. Lucrurile astea nu trebuie invatate pe dinafara, pentru ca nu reprezinta niste teoreme. Mai degraba merita retinuta metoda de demonstratie.
Tot un fel de proprietate: Orice patrat perfect este de una din formele \( 4k \) sau \( 4k+1 \), \( k\in \mathb{N} \). Deci daca impartim un patrat perfect la 4, nu putem obtine decat restul 0 sau 1.
-
Abel Cavasi
- Euclid
- Posts: 14
- Joined: Fri Jul 18, 2008 9:46 am
- Location: România, Satu Mare
.