Fie un triunghi ABC si o dreapta d care nu trece prin A, B sau C. Daca d intersecteaza BC, CA, AB in D, E si F, atunci sa se demonstreze ca
\( \frac{DB}{DC}\cdot{\frac{EC}{EA}}\cdot{\frac{FA}{FB}}=1 \).
Teorema lui Menelaus
Moderator: Beniamin Bogosel
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
Fie \( M, N, P \), proiectiile punctelor \( A, B, C \) pe dreapta d. Atunci:
Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice \( DBN \) si \( DCP \) rezulta \( \frac{DB}{DC}=\frac{BN}{CP} \).
Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice \( ECP \) si \( EAM \) rezulta \( \frac{EC}{EA}=\frac{CP}{CM} \).
Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice \( FAM \) si \( FBN \) rezulta \( \frac{FA}{FB}=\frac{CM}{BN} \).
Inmtultind cele trei egalitati, obtinem teorema lui Menelaus: \( \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=\frac{BN}{CP}\cdot \frac{CP}{CM}\cdot \frac{CM}{BN}=1. \)
Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice \( DBN \) si \( DCP \) rezulta \( \frac{DB}{DC}=\frac{BN}{CP} \).
Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice \( ECP \) si \( EAM \) rezulta \( \frac{EC}{EA}=\frac{CP}{CM} \).
Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice \( FAM \) si \( FBN \) rezulta \( \frac{FA}{FB}=\frac{CM}{BN} \).
Inmtultind cele trei egalitati, obtinem teorema lui Menelaus: \( \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=\frac{BN}{CP}\cdot \frac{CP}{CM}\cdot \frac{CM}{BN}=1. \)