Sa se arate ca:
a) \( 7+7^2+7^3 \) este divizibil cu \( 57 \).
b)\( 7+7^2+...+7^{2010} \) este divizibil cu \( 399 \).
Gazeta Matematica
Concursul "Congruente", problema 1
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Claudiu Mindrila
- Fermat
- Posts: 520
- Joined: Mon Oct 01, 2007 2:25 pm
- Location: Targoviste
- Contact:
Concursul "Congruente", problema 1
elev, clasa a X-a, C. N. "C-tin Carabella", Targoviste
a)\( 7+7^2+7^3=7(1+7+7^2)=7\cdot57 \)
b)\( 7+7^2+7^3+...+7^{2010}=7(1+7+7^2)+7^4(1+7+7^2)+...+7^{2008}(1+7+7^2)=7\cdot57+7^4\cdot57+...+7^{2008}\cdot57=399+7^3\cdot399+...+7^{2007}\cdot399=399(1+7^3+...+7^{2007}) \)
La punctul b) trebuie retinut ca pentru ca un numar a sa fie divizibil printr-un numar b el trebuie sa fie divizibil prin doua numere c , d care au c.m.m.d.c. 1 , adica sunt prime intre ele si care inmultite dau numarul b . De exemplu pentru ca un numar sa fie divizibil prin 6 el trebuie sa fie divizibil prin 2 si prin 3 sau pentru ca sa fie divizibil prin 36 el trebuie sa fie divizibil prin 4 si prin 9 . In cazul nostru pentru ca numarul sa fie divizibil prin 399 numarul trebuie sa fie divizibil prin 7 si prin 57 , care sunt prime intre ele .
b)\( 7+7^2+7^3+...+7^{2010}=7(1+7+7^2)+7^4(1+7+7^2)+...+7^{2008}(1+7+7^2)=7\cdot57+7^4\cdot57+...+7^{2008}\cdot57=399+7^3\cdot399+...+7^{2007}\cdot399=399(1+7^3+...+7^{2007}) \)
La punctul b) trebuie retinut ca pentru ca un numar a sa fie divizibil printr-un numar b el trebuie sa fie divizibil prin doua numere c , d care au c.m.m.d.c. 1 , adica sunt prime intre ele si care inmultite dau numarul b . De exemplu pentru ca un numar sa fie divizibil prin 6 el trebuie sa fie divizibil prin 2 si prin 3 sau pentru ca sa fie divizibil prin 36 el trebuie sa fie divizibil prin 4 si prin 9 . In cazul nostru pentru ca numarul sa fie divizibil prin 399 numarul trebuie sa fie divizibil prin 7 si prin 57 , care sunt prime intre ele .
. A snake that slithers on the ground can only dream of flying through the air.