Este patrat perfect?

[Dorobantu Razvan]

Aratati ca numarul natural \( N=1+3+5+7+...+2005 \) este patrat perfect.

[thekrisser]

1=1+0
3=2+1
5=3+2
.
.
.
2007=1004+1003

Adunam relatiile de mai sus si obtinem

1+3+5+..+2007=(1+2+3+...+1004)+(0+1+...+1003)=1004*1005/2 + 1003* 1004/2=1004 (1005/2+1003/2)= 1004 * 1004 = 1004 la patrat

[naruto]

Ai adunat pana la 2007!

\( N=(1+2+3+4+....+2005)-(2+4+6+...+2004)=2005\cdot1003-2(1+2+...+1002)= \)
\( 2005\cdot2003-1002\cdot1003=1003\cdot(2005-1002)=1003^2 \)

[thekrisser]

scz.... asa am inteles. oricum e acelasi lucru.

[Claudiu Mindrila]

Mai general: \( 1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^2, (\forall) n \in \mathbb{N} \).

[abc]

Nu-i buna formula, nu merge pentru n=1. Corect este
\( 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \)

Se poate demonstra si asa: toti termenii sunt de forma \( 2k-1, k\in \{1,2,...,n} \)

\( 1=2\cdot 1-1 \)
\( 3=2\cdot 2-1 \)
\( 5=2\cdot 3-1 \)
...................
\( 2n-1=2\cdot n-1 \)

Suma \( = 2(1+2+...+n)-n=n(n+1)-n=n^2+n-n=n^2 \)

[Natalee]

Cei mici nu au o gandire matematica prea ridicata, chiar daca sunt olimpici, sa zicem.

O metoda:

In sirul: \( 1; \ 3; \ 5; \ 7; \ ... \ ; \ 2005 \) sunt: \( \ \ 2004 \ : \ 2 \ + \ 1 \ = \ 1002 \ + \ 1 \ = \ 1003 \) numere naturale impare.

Deci suma are \( 1003 \) termeni, numere naturale impare:

Avem:

\( N \ = \ \frac{(1 \ + \ 2005) \ \cdot \ 1003}{2} \ = \ \frac{2006 \ \cdot \ 1003}{2} \ = \ 1003 \ \cdot \ 1003 \ = \ 1003^2 \)

Sau:

Se aseaza in felul urmator:

\( 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ ... \ \ \ \ \ 1999 \ \ \ \ \ 2001 \ \ \ \ \ 2003 \ \ \ \ 2005 \)
\( 2005 \ \ \ \ \2003 \ \ \ \ \ 2001 \ \ \ \ \ 1999 \ \ \ \ \ ....\ \ \ \ \ 7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \)
____________________________________________________________________________

\( 2006 + \ 2006 \ + \ 2006 \ + \ 2006 \ \ + \ . . . \ + 2006 + 2006 + 2006 + 2006 \ = \ S \)

Suma: \( \ \ S \ = \ 2006 \ + \ 2006 \ + \ 2006 \ + \ 2006 \ + \ ... \ + \ 2006 \ + \ 2006 \ + \ 2006 \ + \ 2006 \) are \( 1003 \) termeni, deci \( \ S \ = \ 2006 \ \cdot \ 1003, \)

Dar, asezand termenii sumei sub forma tabelului, mai sus prezentat, fiecare termen apare de doua ori in \( \ S \)

\( = > \ 1 \ + \ 3 \ + \ 5 \ + \ 7 \ + \ ... \ + \ 2005 \ = \ \frac{2006 \ \cdot \ 1003}{2} \ = \ 1003 \ \cdot \ 1003 \ = \ 1003^2 \)

[Claudiu Mindrila]

Nu-i buna formula, nu merge pentru n=1. Corect este
\( 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \)

Nu asta am spus si eu?
Si pentru \( n=1 \) obtii \( 0 \) sau \( 4 \), depinde care e ultimul termen al sumei: \( 2n-1 \) sau \( 2n+1 \).

[Marcelina Popa]

Mai general: \( 1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^2, (\forall) n \in \mathbb{N} \).

Nu-i buna formula, nu merge pentru n=1. Corect este
\( 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \)

Nu asta am spus si eu?

Nu, n-ai zis acelasi lucru. Daca ambele formule ar fi adevarate, adica daca am avea si \( 1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^2 \),
si \( 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \),
ar rezulta prin scadere ca \( 2n+1=0 \) pentru orice numar natural nenul n, lucru evident fals.
Prima formula e falsa nu numai pentru n=1, ci pentru orice numar natural nenul.

Atentie la generalizari!

[Claudiu Mindrila]

Da, aveti dreptate. Am crezut ca am scris \( 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 \). Bine inteles ca \( 1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^2,\forall n\in \mathbb{N} \) nu are sens.

[Virgil Nicula]

Gauss era in clasa a II - a si invatatorul obosit gasii de cuviinta sa le dea un exercitiu care sa le dea ceva de lucru ca el sa se odihneasca putin. Asa ca le zise sa adune toate numerele de la \( 1 \) la \( 99 \) . Nu apuca sa se ascunda in spatele ziarului pentru a inchide ochii ca Gauss era cu manuta sus.
- Vrei afara, Gauss ? il intreba invatatorul. La care Gauss a raspuns ca a gasit suma.
- Si care-i rezultatul, il intreba.
- \( 49 \) de sute la care se aduna \( 50 \) .
Ei nu invatasera decat numerele pana la \( 100 \) si operatii al caror rezultat sa nu depaseasca suta.
- Si cum ai facut ? Gauss iesi la tabla si a inceput sa vorbeasca si sa scrie (cum Natalee a facut mai sus !) rezolvarea :
Numarul termenilor sumei este numarul impar \( 99 \) . Deci exista un termen mijlociu, anume \( 50 \) deoarece inaintea lui sunt \( 49 \) de termeni si dupa el sunt tot atatia. Ceilalti termeni ii grupam in oglinda (adica simetrie !) fata de termenul din mijloc si ii adunam la fiecare pereche astfel :
\( \downarrow\ 1+99\ \uparrow\ =100 \)
\( \downarrow\ 2+98\ \uparrow\ =100 \)
\( \downarrow\ 3+97\uparrow\ =100 \)
...................................
\( \downarrow 49+51\uparrow\ =100 \)
\( \searrow\ 50\ \nearrow\ \)
Vedeti, dle invatator, ca avem \( 49 \) de sute la care se adauga mijlociul \( 50 \). Dupa care se indrepta spre banca. Invatatorul uluit se trezi de tot si continua ora dandu-le exercitiul sa adune toate numerele impare de la \( 1 \) la \( 99 \) sa vada daca ceilalti copii au inteles ce le scrisese Gauss pe tabla. Toti copiii au rezolvat pana la pauza al doilea exercitiu (erau mai putini termeni in suma, aprox. jumatate din suma precedenta) cu exceptia unuia singur, Gauss , care la pauza intrebat de invatator de ce nu a scris si el rezolvarea, a raspuns ca este .... risipa de hartie, cerneala si timp. A iesit la tabla si a scris : \( 1+3+5+\ldots +\underline{\overline{\left|\ 99\ \right|}}= \) numarul lor \( 50 \) adunat cu el insusi de atatea ori de cat arata numarul lor, adica de \( 50 \) de ori ! Acum invatatorul l-a mangaiat pe crestet si pornii spre cancelarie murmurandu-si in barba fericit ca peste ani se va pomeni ca el a fost invatatorul lui Gauss. Si uite asa, incalecai pe-o sa incheind ca nu intamplator una din pasiunile vietii lui Gauss a fost teoria numerelor ... Si cand te gandesti ca totul a evoluat de la o oboseala a invatatorului.