Colorare a punctelor laticeale

[Beniamin Bogosel]

Se coloreaza punctele de coordonate intregi din plan cu trei culori (rosu, albastru si verde) astfel incat orice culoare este folosita cel putin o data si punctul \( (0,0) \) este rosu, iar punctul \( (1,0) \) este albastru. Demonstrati ca exista un triunghi dreptunghic cu varfurile in punctele laticeale, care are cate un varf colorat cu fiecare dintre cele 3 culori (adica un varf rosu, unul albastru si unul verde).


[ONM India]

[maxim bogdan]

Un pic mai generala este problema 1 de la Russia NMO 2004(clasele a\( IX \) si a\( X \)a) :

Punctele laticeale ale planului cartezian se coloreaza cu \( 3 \) culori astfel incat orice culoare este folosita. Demonstrati ca exista un triunghi dreptunghic care are varfurile, doua cate doua colorate cu culori diferite.

[Beniamin Bogosel]

Daca vreti ceva mai general, atunci demonstrati ca daca se coloreaza punctele planului cu oricate culori (numar finit) si daca avem un triunghi ABC cu tangentele unghiurilor numere rationale (triunghiurile dreptunghice sunt incluse chiar daca \( \tan{\frac{\pi}{2}}=\infty \)...) atunci exista un triunghi cu varfurile in punctele laticeale asemenea cu triunghiul \( ABC \) cu varfurile colorate cu aceeasi culoare...