Convergenta punctuala

[dede]

Am gasit intr-o carte urmatoarea observatie:
Fie \( (T_n)_n \) un sir convergent in spatiul normat \( {\cal B}(X,Y) \). Sa notam cu T limita sa. Cum pt orice \( x \in X,\
||T_n(x)-T(x)||\leq||T_n-T||\cdot||x|| \Rightarrow (T_n)_n \) converge punctual la T, adica \( \forall x \in X \) sirul \( (T_n(x))_n \) este convergent in Y ?

[Liviu Paunescu]

Da, e convergent, care e problema? Convergenta in norma o implica pe cea punctuala (nu si reciproc in infinit dimensional). De fapt convergenta in norma e (vorba unor celebri) PREA TARE, atat de tare incat s-au inventat 17 mii de alte topologii mai slabe cu care sa lucrezi.