f nu admite primitive daca f(f(x))+ln>=0

[Cezar Lupu]

Sa se arate ca orice functie \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) cu proprietatea ca \( f(f(x))+\ln x\geq 0, \forall x\geq 0 \) nu admite primitive.

[Marius Mainea]

Folosim :

Propozitia 1:

Daca \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) este o functie cu proprietatea lui Darboux \( x_0\in\mathbb{\overline{R}} \) ,astfel incat \( \lim_{x\to x_0}f(f(x))=\pm\infty \) , atunci \( \lim_{x\to x_0}f(x) \) exista si este infinita
(vezi ONM/2000)

Propozitia 2 :

Daca \( x_0\in\mathbb{R} \) si \( \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty \) , atunci f nu are proprietatea lui Darboux.